AOE网中求解关键路径（Critical Path）
首先推荐有个b站视频，讲关键路径讲的非常好，20min可搞懂：https://www.bilibili.com/video/BV1PW41187vc?from=search&seid=40093726432206649
一、概念
AOE网: 用顶点表示事件，用边表示活动，权表示活动持续的时间。
AOE网可回答的问题有：完成整个工程至少需要多长时间？哪些活动是影响工程进度的关键？活动的最早开始时间和最晚开始时间？活动的总浮动和自由浮动时间？
找到AOE网的关键路径属于项目管理的范围，应由项目经理严格把控和协调每个活动的最早/最晚开始时间，以致于不影响项目的完成日期。
关键路径：决定项目最早完成时间的一系列活动。如果两个或多个路径的长度相同，则可以有多个关键路径。项目经理应密切监控关键路径上活动的表现，以避免项目延迟完成。
free float自由浮动：一项活动可以被延迟的时间，而不会延迟任何紧随其后的活动的提前开始。
total float总浮动：一个活动可能从其早期开始被延迟的时间量，而不会延迟计划的项目完成日期。
Forward pass：确定较早的开始和完成日期 ES（最早开始时间）
Backward pass ：确定较晚的开始和完成日期 LF （最晚开始时间）
二、例子：
1. Construct the CPM Network Diagram
用结点表示事件，边表示活动，括号里的数值代表活动的持续时间。
2. Calculate the Forward Pass, Backward Pass, Free Float
先规定一下： Dij来表示一条边，则i表示出度，j表示入度。比如A12 , F56。v来表示结点，如v1 , v2。
ES：最早开始时间
顶点（事件）的最早开始时间：如上公式，比如求V(4)的最早开始时间，V(4)可由V(2)+D(4)得来，也可以由V(5)+E(5)得来，取两者最大值作为v(4)的ES。通俗讲，结点4可由结点2或结点5得来，将这些代价算出来取最大值即可。最早开始时间不应该尽可能取最小吗，这里为什么取最大值呢？因为结点4要开始，则它之前的工作必须全部做完，假设它之前需要做两份工作，一份花费1h，一份花费2h，则必须等这两份工作都做完后（等待一个两者中时间的最大值）才能开始开启结点4的事件。
边（活动Dij ）的最早开始时间 = V(i)，比如活动G，该活动的最早开始时间等于结点4的最早开始时间。
LF: 最晚开始时间
顶点（事件）的最晚开始时间：从Finish结点开始，往前去计算。比如结点2，既可以通过3返回，也可以通过4返回，这时取这俩值中的最小值。可以这样理解，比如由结点3的LF推得结点2的LF为第一天，由结点4的LF推得结点2的LF为第二天。这里可得结点2的LF应为第一天，如果结点2选择第二天开始的话，则结点4就不能在指定时间完成了，会延误。
边（活动Dij ）的最晚开始时间 = V(J)的最晚开始时间-duration（活动持续时间）。比如G(6)的最晚开始时间等于V(7)-6。
Total float: 一个活动可以被延迟多久，而不会影响项目的完成日期。对于每个活动，直接用最晚开始时间-最早开始时间。
Free float: 一个活动可以被延迟多久，而不会影响紧随其后的活动的提前开始。该活动入度结点的最早开始时间-该活动入度结点的最早开始时间-该活动持续时间。比如F(7).free float = V(6).ES - V(5).ES - F.duration = 23 - 16 - 7 = 0.
3. Critical Path:
从结点的表格和边的表格都可以看出关键路径。首先明确关键路径上的边没有松弛时间，即最早开始时间=最晚开始时间，关键路径经过的结点也没有松弛时间，最早开始时间=最晚开始时间。
从结点角度看，1,2,3,4,5,7,8,9的ES等于LF。将这些结点相连，就为关键路径。
从边的角度看，A,B,C,E,G,I,J的ES等于LF。将这些边用红线标出，如下图。
从结点表格看，
1->2->3->5->4->7->8->9
A-B-C-E-G-I-J = 5+8+3+5+6+6+5 = 38
