【信号与系统】笔记（1）绪论

Author：AXYZdong
自动化专业 工科男
有一点思考，有一点想法，有一点理性！

一、信号

1、概念

信号：物质的运动形式或状态的变化。
表示：信号常用时间函数（或序列）表示。该函数的图像称为信号的波形。

2、分类

分类标准	信号类别
以自变量取值分类	连续信号、离散信号
以信号的起始时刻分类	因果信号、非因果信号
以$f(t)$取值分类	周期信号、非周期信号
以确立与随机分类	确定信号、随机信号
以$f(t)$为实函数或复函数分类	实信号、复信号
以能量是否有限分类	能量有限信号、能量无限信号

3、周期信号和非周期信号

3.1、基本概念

周期信号（period signal）是定义在 (-$\infty$,+$\infty$)区间，每隔一定时间$T$(或整数$N$),按相同规律重复变化的信号。

连续周期信号$f(t)$满足：
$f(t)=f(t+mT),m=0,\pm 1,\pm 2,...$

离散周期信号$f(k)$满足：
$f(k)=f(k+mN),m=0,\pm 1,\pm 2,...$

满足上述关系的最小$T$（或整数$N$）称为该信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。

3.2、周期$T$求法

举两个例子，通过例子来说明具体求法。
（1）$f_1(t)=\sin 2t+\cos 3t$ （2）$f_2(t)=\cos 2t+\sin \pi t$

解： 两个周期信号$x(t),y(t)$的周期分别为$T_1,T_2$,若其周期之比$\frac{T_1}{T_2}$为有理数，则其和信号$x(t)+y(t)$仍然是周期信号，其周期为$T_1$和$T_2$的最小公倍数。

（1）$\sin 2t,T_1=\frac{2\pi }{2}=\pi$

         $\cos 3t,T_2=\frac{2\pi }{3}$

         $\frac{T_1}{T_2}=\frac{3}{2}$为有理数，$f_1(t)$为周期信号，周期$2\pi$

（2）$\cos 2t,T_1=\frac{2\pi }{2}=\pi$

         $\sin \pi t,T_2=\frac{2\pi }{\pi }=2$

         $\frac{T_1}{T_2}=\frac{\pi }{2}$为无理数，$f_2(t)$为非周期信号

总结：①连续的正弦信号一定是周期信号
           ②正弦序列不一定是周期序列
           ③ 两连续周期信号之和不一定是周期信号
           ④两周期序列之和一定是周期序列

二、系统

1、概念

系统（system）：由若干个相互联系、相互作用的单元组成的具有一定功能的整体。
例：收音机系统

表示：图示、方程（微分方程、差分方程）。

2、分类

按系统处理信号的形式分类

3、线性系统

3.1概念

线性(linearity property)：均匀性、叠加性。
线性系统：指具有线性特性的系统
系统的线性特性：
                                    $f_1(t)$ $H$ $y_1(t)$

                                    $f_2(t)$ $H$ $y_2(t)$

             ${\alpha }_1{f}_1(t)+{\alpha }_2{f}_2(t)$ $H$ ${\alpha }_1{y}_1(t)+{\alpha }_2{y}_2(t)$

3.2线性系统的判断方法

先线性运算，再经系统 = 先经系统，再线性运算

$$\begin{array}{l}\text{f1(t) C1 C1f1(t)}\\ \text{f2(t) C2 C2f2(t)}\end{array}\}\to C_1{f}_1(t)+C_2{f}_2(t)\to H\to H\{C_1{f}_1(t)+C_2{f}_2(t)\}$$
$$\begin{array}{l}\text{f1(t) H H{f1(t)}}\\ \text{f2(t) H H{f2(t)}}\end{array}\}\to H\{f_1(t)\}+H\{f_2(t)\}\to C\to C_{1}H\{f_1(t)\}+C_{2}H\{f_2(t)\}$$
若$H\{C_1{f}_1(t)+C_2{f}_2(t)\}=C_{1}H\{f_1(t)\}+C_{2}H\{f_2(t)\}$

则系统$H$为线性系统

例：判断方程所描述的系统的线性

$y(k)+(k-1)y(k-1)=f(k)$

解：
$$\begin{gathered} f_1(k)\to y_1(k),f_2(k)\to y_2(k) \\ {f}_1(k)+f_2(k)=y_1(k)+y_2(k)+(k-1)\{y_1(k-1)+y_2(k-1)\} \\ {f}_1(k)+f_2(k)\to y_1(k)+y_2(k) \\ {f}_1(k)+f_2(k)=y_1(k)+y_2(k)+(k-1)\{y_1(k-1)+y_2(k-1)\} \end{gathered}$$
故：方程所描述的系统是线性系统。

4、时不变系统

4.1概念

时不变系统：一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系统的时间起点无关，这样的系统称为时不变系统。

时不变性：系统具有上述的性质称为时不变性。

4.2判断方法

先时移，再经系统 = 先经系统，再时移

$$f(t)\to 时移\tau \to f(t-\tau )\to H\to H\{f(t-\tau )\}$$
$$f(t)H\to H\{f_1(t)\}令y(t)=H\{f_1(t)\}\to 时移\tau \to y(t-\tau )$$
若：$H\{f(t-\tau )\}=y(t-\tau )$，则系统$H$是时不变系统。

5、线性时不变系统（Linear and Time-invariant System）

线性时不变系统：系统既是线性的，又是时不变的；或系统的方程为线性常系数微分方程。

三、常用的基本信号

1、单位阶跃信号（unit step signal）

$$ϵ(t)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{t>0}\\ 0,& \text{t<0}\end{array}$$
时移$t_0$
$$ϵ(t-t_0)=\{\begin{array}{ll}1,& t>t_0\\ 0,& t<t_0\end{array}$$

2、矩形脉冲信号（门函数）

$$g_{\tau }(t)=\{\begin{array}{ll}1,& (|t|<\frac{\tau }{2})\\ 0,& (|t|>\frac{\tau }{2})\end{array}$$

3、斜坡信号（ramp signal）

$$r(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ t,& t\ge 0\end{array}$$
                                                                                                        $=tϵ(t)$

4、取样函数（sampling function）

$$S_a(t)=\frac{\sin t}{t}(-\infty <t<+\infty )$$

①偶函数
② 当$t=0$时，$S_a(t)=1$为最大值
③ 曲线呈衰减振荡
④ $${\int }_0^{\infty }{S}_a(t)\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2},{\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_a(t)\mathrm{d}t=\pi$$

取样函数常用形式 $\sin c(t)=\frac{\sin \pi t}{\pi t}=S_a(\pi t)$

5、单位冲激函数（unit impulse function）

视作矩形脉冲的极限

p;  
$$\delta (t)=\{\begin{array}{ll}\infty ,& t=0\\ 0,& t\ne 0\end{array}$$
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)\mathrm{d}t=1$$
延时冲激：$A\delta (t-t_0)$

冲激偶：$\delta \prime (t)=\frac{d\delta (t)}{dt}$

性质：1、偶函数：$\delta (t)=\delta (-t)$
          2、取样性：

$$\begin{gathered} f(t)\cdot \delta (t)=f(0)\cdot \delta (t) \\ f(t)\cdot \delta (t-t_0)=f(t_0)\cdot \delta (t-t_0) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \delta (t)\mathrm{d}t=f(0) \\ {\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \delta (t-t_0)\mathrm{d}t=f(t_0) \end{gathered}$$

$\delta (t)$与$ϵ(t)$的关系：
$${\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )\mathrm{d}\tau =ϵ(t)$$
$$\frac{dϵ(t)}{dt}=\delta (t)$$

利用该性质可对不连续函数求导。

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