10.斐波那契数列 与 跳台阶问题

1.斐波那契数列问题

题目：求斐波那契数列的第n项

写一个函数，输入n，求斐波那契(Fibonacci)数列的第n项
斐波那契数列的定义如下：
　　　 ┌ 0　　　　　　　,　　n = 0
f(n)=　 ├ 1　　　　　　　,　　n = 1
　　　 └ f(n-1) + f(n-2)　　,　　n > 1

0,1,1,2,3,5,8,13…

思路

函数本身是递归定义，直接用递归方式编写代码，在递归树中可以得知，这个过程中出现很多重复节点，时间复杂度是指数级。因此不实用。
比较好的思路是从底向上计算f(n)，保留两个下层函数f(n-1) , f(n-2)的值用于下轮计算。
实现如下：

public static int Fibonacci(int n) {
    if(n <= 0) 
        return 0;
    if(n == 1) 
        return 1;

    int fibNumOne= 0;
    int fibNumTwo= 1;
    int fib = 0;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        fib =  fibNumOne + fibNumTwo;
        fibNumOne= fibNumTwo;
        fibNumTwo= fib;
    }
    return fib;
}

2.跳台阶问题

题目

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路

很明显的求斐波那契数列类型的题目
当跳n级台阶的时候，设跳法有f(n)种
青蛙的第一步，可以跳1级，也可以跳2级（只有这两种选择）

1. 当跳1级的时候，剩下的有f(n-1)种
2. 当跳2级的时候，剩下的有f(n-2)种
   因此, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 2, f(n) = f(n-1) + f(n-2)

3.变态跳台阶问题

题目

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路

跳上1级台阶有1种跳法（1）
跳上2级台阶有2种跳法（1-1、2）
跳上3级台阶有4种跳法（1-1-1、1-2、2-1、3）
讨论一般情况：假设跳上n级台阶有f(n)种跳法
f(n)种方法包括：
跳上1级台阶后直接跳上n级台阶 ，此时有f(1)种跳法
跳上2级台阶后直接跳上n级台阶 ，此时有f(2)种跳法
跳上3级台阶后直接跳上n级台阶 ，此时有f(3)种跳法
……
跳上n-1级台阶后直接跳上n级台阶 ,此时有f(n-1)种跳法
直接跳上n级台阶 ，此时有1种跳法
得到：
当n=1时，f(n) = 1
当n>1时， f(n) = f(1) + f(2) + … + f(n-1) + 1
因此：
f(n) = 2 ^ (n-1)

实现

public static int JumpFloorII(int target) {
    if(target <= 0) 
        return 0;
    int result = 1;
    for(int i = 0; i < target-1; ++i) {
        result *= 2;
    }
    return result;
}