Fibonacci ：HDOJ 1568 Fibonacci

Problem Description

2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2] (i>=2) )的值全部给背了下来。接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。

Input

输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。

Output

输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

Sample Input

0 1 2 3 4 5 35 36 37 38 39 40

Sample Output

0 1 1 2 3 5 9227 1493 2415 3908 6324 1023

分析

需要数学知识，整理分析转自多个博客。当一个数非常大时，如何求出其前几位如果是给定一个特定的数，当然可以逐步取出每一位即可。如a得个位，a/10得百位，a/10/10得千位。但是，当求x^y的前几位时怎么办呢？若x，y都非常大，则显然很难解决：也许可以用大数乘法，暴力求解，结果自然是既占内存，又耗时间。还有，此题斐波拉契数列的前几位，显然求出每个斐波拉契数是不现实的。因此，可以采用取对数的方法来解决。

先看对数的性质,loga(b^c)=cloga(b),loga(bc)=loga(b)+loga(c);
假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.023443210^7)=log10(1.0234432)+7
log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.
log10(1.0234432)=0.010063744
10^0.010063744=1.023443198，
要求该数的前4位，则将1.0234431981000即可。
因此，pow(10.0,x的小数部分)即可方便求出x的前几位。
求一数的前4位的对数方法可以表述为：

double x,temp;
while(scanf("%lf",&x)!=EOF)
{
  temp=log(x)/log(10.0);
  temp=temp-floor(temp); //floor(temp)函数求出小于temp的最大整数
  temp=pow(10.0,temp);
  while(temp<1000)
  temp*=10;
  //printf("%.0lf\n",temp); //采用浮点表达法时会四舍五入
  printf("%d\n",(int)temp);//此处不需四舍五入，直接舍弃后面的位
}

以下为斐波拉契数列的通项公式。
F(n)=（1/√5）[（（1+√5）/2）^{n-（（1-√5）/2）}n]（n=1，2，3.....）
改变通项的形式
F(n)=（1/√5）[（（1+√5）/2）^{n-（（1-√5）/2）}n]（n=1，2，3.....）
=(1/√5)[((1+√5)/2)^n(1-((1-√5)/(1+√5))^n）]（n=1，23.....）
即F(n)的各项可以由以上通项公式求得，而不是采用迭代。
对变化后的通项取对数，则得下式：
log10（F(n)）=-0.5log10（5.0）+（（double）n）log（f）/log（10.0）+log10（1-（（1-√5）/（1+√5））^n）
其中第三部分非常小，当n很大时趋近于0，可以忽略掉。
然后再单独计算前20个数，不超过4位，可以单独输出。
C代码如下，已通过：

#include "stdio.h"
#include "math.h"
int main()
{
  int n,i;
  int f[21]={0,1};
  for(i=2;i < 21;i++)
    f[i]=f[i-1]+f[i-2];
  double s=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
  while(scanf("%d",&n) != EOF)
  {
    if(n<21)
    {
      printf("%d\n",f[n]);
      continue;
    }
    double ans=-0.5*log(5.0)/log(10.0)+(double)n*log(s)/log(10.0);
    ans-=floor(ans);
    ans=pow(10.0,ans);
    while(ans < 1000)
    ans *= 10;
    printf("%d\n",(int)ans);
  }
}