Savitzky-Golay 滤波器详解及C/matlab语言程序设计

 1.Savitzky-Golay 滤波器

Savitzky-Golay滤波器（通常简称为S-G滤波器）最初由Savitzky和Golay于1964年提出，发表于Analytical Chemistry 杂志。之后被广泛地运用于数据流平滑除噪，是一种在时域内基于局域多项式最小二乘法拟合的滤波方法。这种滤波器最大的特点在于在滤除噪声的同时可以确保信号的形状、宽度不变。

使用平滑滤波器对信号滤波时，实际上是拟合了信号中的低频成分，而将高频成分平滑出去了。如果噪声在高频端，那么滤波的结果就是去除了噪声，反之，若噪声在低频段，那么滤波的结果就是留下了噪声。

最成功的应用在于心电图的基线漂移现象：

基线漂移现象是有很低的频率信号引起的（体位的移动、呼吸作用），这样的低频信号有时我们也把它称为信号中的趋势项。可以利用平滑滤波器拟合该低频信号，再将其从原始的心电信号中减去，就可以抑制趋势项。

总之，平滑滤波是光谱分析中常用的预处理方法之一。用Savitzky．Golay方法进行平滑滤波，可以提高光谱的平滑性，并降低噪音的干扰。S-G平滑滤波的效果，随着选取窗宽不同而不同，可以满足多种不同场合的需求。

2.信号的最小二乘平滑

信号的最小二乘平滑的基本思想可以通过下图来说明：

一列数据x[n] 在图中用实心的圆点表示。考虑一组以n=0为中心的2M+1个数据，可以用如下的多项式来拟合：

所以只需要获得拟合多项式的常数项。

Savitzky和Golay 发现计算a0相当于对原始数据进行一次FIR 滤波。也就是说可以利用卷积运算来实现。

也可以说是对输入数据进行了加权平均。图1中x 表示的就是加权系数。下面就来说说如何获得a0。

由基本的微积分知识可知，若要ε最小，ε对各个参数的偏导数都应为0，也就是：

因此，Savitzky-Golay卷积平滑算法是移动平滑算法的改进：

3.matlab仿真测试

noise = wgn(1,101,2);
for n=1:1:101
    s(1,n) = 3*sin(0.2*n)+3*sin(0.4*n);
end
x = s + noise;
%滤波器
% y = sgolayfilt(x,3,7);
h = [-2, 3, 6, 7, 6, 3, -2 ]/21;
y = zeros(1,101);
y(1,1:3) = s(1,1:3);
y(1,99:101) = s(1,99:101);
for k=4:1:98
    y(1,k) = x(1,k-3)*h(1)+x(1,k-2)*h(2)+x(1,k-1)*h(3)+x(1,k)*h(4)+...
             x(1,k+1)*h(5)+x(1,k+2)*h(6)+x(1,k+3)*h(7);
end
plot(x,'b');
hold on
plot(y,'r');
hold on
plot(s,'g');
hold off

MATLAB自带的 sgolayfilt滤波器的处理结果：

依据算法思想进行卷积滤波处理结果：

4.算法的C语言实现

要用C 语言从头写起这个代码会非常的长，光一个 ployfit 函数实现起来就很麻烦。程序中直接调用了 GSL 的相关函数。先说说 polyfit 函数。多项式函数拟合可以转换成超定线性代数方程组的最小二乘解的问题。标准解法是 SVD 分解。不过GSL库中提供了gsl_multifit_linear函数进行线性模型的拟合，可以直接使用。下面给出代码。很简单，就不多做解释了。这个例子也可以作为 gsl_multifit_linear 函数用法的一个小例子。

/** 
 * 多项式拟合函数 
 * 根据 x y 拟合出一个N次多项式。返回多项式的系数。 
 */  
gsl_vector* PolyFit(gsl_vector *x, gsl_vector *y, int N)  
{  
    int i, j;  
    int M = GSL_MIN(x->size, y->size);  
    double chisq, xi;  
  
    gsl_matrix *XX = gsl_matrix_alloc(M, N + 1);  
    gsl_vector *c = gsl_vector_alloc(N + 1);  
    gsl_matrix *cov = gsl_matrix_alloc(N + 1, N + 1);  
  
    for(i = 0; i < M; i++)  
    {  
        gsl_matrix_set(XX, i, 0, 1.0);  
        xi = gsl_vector_get(x, i);  
        for(j = 1; j <= N; j++)  
        {  
            gsl_matrix_set(XX, i, j, pow(xi, j));  
        }  
    }  
    gsl_multifit_linear_workspace *workspace = gsl_multifit_linear_alloc(M, N + 1);  
    gsl_multifit_linear(XX, y, c, cov, &chisq, workspace);  
  
    gsl_matrix_free(XX);  
    gsl_matrix_free(cov);  
    gsl_multifit_linear_free(workspace);  
    return c;  
}  

有了 PolyFit 函数就可以计算 SG 滤波器的系数了。Matlab 中的 polyval 函数 可以用 gsl_poly_eval 来实现。

/** 
 * 计算 Savitzky-Golay 滤波器系数 
 * SG 滤波器的阶数为 2M+1，多项式的最高次数为 N 
 */  
gsl_vector* SG_FilterCreate(int M, int N /* Poly Order */)  
{  
    int i;  
    gsl_vector *x = gsl_vector_alloc(2 * M + 1);  
    gsl_vector *y = gsl_vector_alloc(2 * M + 1);  
  
    gsl_vector_set_zero(y);  
    gsl_vector_set(y, M, 1);  
  
    for(i= -M; i <= M; i++)  
    {  
        gsl_vector_set(x, i + M, i);  
    }  
    gsl_vector *c = PolyFit(x, y, N);  
    gsl_vector_free(x);  
    gsl_vector_free(y);  
  
    gsl_vector *fir = gsl_vector_alloc(2 * M + 1);  
    for(i = -M; i <= M; i++)  
    {  
        gsl_vector_set(fir, i + M, gsl_poly_eval (c->data, N + 1, i));  
    }  
    gsl_vector_free(c);  
    return fir;  
}  

5.平滑滤波的尴尬

当然，这是针对所有FIR滤波器而言，都会有以下几个尴尬，主要在模板值大小上：

1.N足够大，就可以获得足够小的NRR（Noice Reduce Rate）

2.N过大会使滤波器具有过大的延迟

3.N过大会使其主瓣的单边的带宽大大降低，这就有可能在滤波时使有用的信号(或某一个频率组份)也受到损失；因此，在平滑中，N不宜取得过大。

致谢：本文的大部分工作都是在CSDN  liyuanbhu博主研究基础之上进行的，感谢他的辛苦劳动。