寻找模质数意义下的二次剩余与三次剩余

指导思想

https://en.wikipedia.org/wiki/Cipolla%27s_algorithm

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0893965902000319

寻找模平方剩余

问题模型

给出质数 p 和整数 a ，求所有满足 x2≡a(modp) 的 x 。

Cipolla’s Algorithm

a=0 或 p=2 的情况特殊判断。

定义二次剩余符号 (ap)≡ap−12(modp) ，当其为1时表示 a 是二次剩余。

找到一个 w 使得 w2−a 不是二次剩余，随机测试的期望次数为2。

在扩域上计算 (w+w2−a−−−−−−√)p+12 ，则为一个可行的 x ，另外一个可行解为 −x 。

利用复数域的知识即可证明生成算法的正确性，时间复杂度 O(logp) 。

寻找模立方剩余

问题模型

给出质数 p 和整数 a ，求所有满足 x3≡a(modp) 的 x 。

Peralta Method Extension

a=0 或 p≤3 的情况特殊判断。

如果 p≡−1(mod3) ，则 x≡a2p−13(modp) 是唯一解。

否则 (−3p)=1 ，则 ϵ=−3√−12 为三次单位根，即 ϵ3≡1(modp) 。

此时有三分之一的数字是三次剩余，定义三次剩余符号 [ap]≡ap−13(modp) ，当其为1时表示 a 是二次剩余。

如果找到一个 x ，则其他解为 xϵ,xϵ2 。

类似二次剩余的证明方法，对于 a 的立方根 x ，构造群 R={∑2i=0fixi|fi∈Zp,i=0,1,2} ，可以证明 R 与 Zp×Zp×Zp 同构，对于 R 中的元素 z 有 zp−1≡1(modp) 。

于是有一个极为暴力的想法是随机生成一个元素 u∈R （也就是随机生成多项式的系数），令 v≡up−13(modp) ，则有 v3≡1(modp) ，如果 v 的多项式系数中只有 f1 非0，则 (f1x)3≡1(modp) ，那么 f1−1 必然是一个解，再利用 ϵ 生成即可。

类似地可以分析出满足 v 的多项式系数中只有 f1 非0的概率为 19 ，期望试9次就可以得到一组解了。

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其实方法有很多，都可以学习一下