数学背后的故事(1)

神奇的 π

π 在数学中地位如神一般的存在,可以说如果没有 π 就没有现代数学。它的定义很简单就是圆的周长和直径的比值。它在数学和物理的个各个分之都有运用。最简单的是计算圆周长了吧,我们只要知道直径的长度再乘以 π 就是周长了。
虽说 π 定义简单,但要精确计算出它的值是不可能的,因为它是一个无限不循环小数也称作超越数。到目前计算到小数点后多少位我也不太清楚,知道了也没什么意义。我感兴趣的是前人计算 π 的过程。虽然结果很重要,但在求解数学问题的过程中可能会收获一些意想不到成果,有些甚至衍生出了数学的其他分支,推动了数学的发展。
计算 π 的过程简直太精彩,人们为了精确的计算出 π 的值,经过了几千年的艰苦卓绝的努力,直到现在还有人在研究。从时间上来讲 π 的计算从公元前1900年前就开始了,这里不详细研究历史了,感兴趣的可以百度。在这里只谈对计算 π 有过巨大贡献的标志性人物。首先要介绍的是古希腊数学家阿基米德,这个人我们都很熟悉啊,有个他的故事:有一天洗澡突然灵关闪现发现了浮力原理,兴奋的忘了穿裤子就跑到大街上大喊找到了找到了。现在咱们还谈什么裸奔,人家几千年前就实践了。可以称得上是裸奔的先驱了。哈哈,开个玩笑,阿基米德这个人还是很厉害的,有时间专门做一期。他是如何来计算 π 的呢?阿基米德想:你不是圆的周长不好测量吗,那我就在圆内画个正六边形,外边画个正六边形,那圆的周长肯定在两个正六边形周长之间。这样算下来可能误差比较大,但我可以把正多边形加倍变成正12边形,以此迭代下去就会无限接近正确的值了。最后直到内接正96边形和外接正96边形为止,他求出圆周率的下界和上界分别为 223/71 和 22/7,并取它们的平均值 3.141851 为圆周率的近似值。接下来这几位是中国的数学前辈,刘徽用割圆术计算圆周率,他先从圆内接正六边形,逐次分割一直算到圆内接正 192 边形。刘徽给出 π=3.141024 的圆周率近似值。刘徽在得圆周率=3.14之后,将这个数值和晋武库中汉[王莽]时代制造的铜制体积[度量衡]标准[嘉量]斛的直径和容积检验,发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到 1536 边形,求出3072边形的面积,得到令自己满意的圆周率 3.1416。之后祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果,给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927。在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值,打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家鲁道夫·范·科伊伦于1596年将π值算到20位小数值,后投入毕生精力,于1610年算到小数后35位数,该数值被用他的名字称为鲁道夫数。之后进入计算机时代,使π值计算有了突飞猛进的发展。这里要特别提一下鲁道夫·范·科伊伦,这哥们几乎耗尽一生就为了算 π 。还有一位英国的威廉·山克斯(William Shanks),他耗费了15年的光阴,在1874年算出了圆周率的小数点后707位,并将其刻在了墓碑上作为一生的荣誉。可惜,后人发现,他从第528位开始就算错了。也不知道他们从哪里来的动力,就是为了名声吗?这种毅力实在是佩服。其实在探索数学的道路上,还有许多类似的可歌可泣故事,比如哥德巴赫猜想,后续会讲到。

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