分类算法之朴素贝叶斯（NaiveBayes）

我个人认为，在数据挖掘领域，分类算法是最为重要。它根据以往的数据来对新的数据做预测。垃圾邮件判断，潜在用户挖掘等都会用到分类算法。今天把总结朴素贝叶斯算法的学习心得。

naive

#Bayes是谁#
Thomas Bayes，英国数学家。约1701年出生于伦敦，做过神甫。1742年成为英国皇家学会会员。1761年4月7日逝世。贝叶斯在数学方面主要研究概率论。他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献。

#Bayes定理#
通俗来说就是：****
已知事件B的发生概率P（B）
已知在事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率P（A|B）
则可根据Bayes定理，计算事件A发生的条件下，事件B发生的概率P（B|A）。
计算方法为：
P（B|A）=P（A|B）× P（B）/ P（A）

#NaiveBayes分类算法实例#
门诊部一共就诊了6位患者，情况如下：

case

这时，来了第七位患者，一位“打喷嚏的工人”，请推断他得了啥病。

这就是一个分类问题。现状把所有患者分成了三类“感冒”“过敏”“脑震荡”，我们的目的是把“打喷嚏的工人”分到这三类中的一类中。具体做法为：根据Bayes定理，计算这个“打喷嚏的工人”患三种疾病的概率。

P（感冒|打喷嚏&工人）
= P（打喷嚏&工人|感冒）×P（感冒） / P（打喷嚏&工人）
= P（打喷嚏|感冒）× P（工人|感冒）× P（感冒） / P（打喷嚏）× P（工人）
= （2/3 × 1/3 × 1/2）/ （1/2 × 1/3）
= 66.7%

解释:

• '&'项可以分成两个，是因为“症状”变量和“职业”变量是相互独立的，没什么联系
• 感冒的有3个，其中打喷嚏的2个，所以P（打喷嚏|感冒）=2/3
• 感冒的有3个，其中工人1个，所以P（工人|感冒）=1/3
• 一共六个人，感冒3个，所以P（感冒）=1/2
• 一共六个人，打喷嚏的3个，所以P（打喷嚏）=1/2
• 一共六个人，其中工人2个，所以P（工人）=1/3

按照这个方法，计算“打喷嚏的工人”另外两种疾病的概率；

P（过敏|打喷嚏&工人）
= P（打喷嚏&工人|过敏）×P（过敏） / P（打喷嚏&工人）
= P（打喷嚏|过敏）× P（工人|过敏）× P（过敏） / P（打喷嚏）× P（工人）
= （1 × 0 × 1/6）/ （1/2 × 1/3）
= 0%
P（脑震荡|打喷嚏&工人）
= P（打喷嚏&工人|脑震荡）×P（脑震荡） / P（打喷嚏&工人）
= P（打喷嚏|脑震荡）× P（工人|脑震荡）× P（脑震荡） / P（打喷嚏）× P（工人）
= （0 × 1/2 × 1/3）/ （1/2 × 1/3）
= 0%

可见，“打喷嚏的工人”患感冒概率66.7%，初步判断应该是感冒。但是一般的分类器都要根据具体业务设置阈值，对于人命关天的事，最好严格一些，比如95%以上才做出判断，那么这里最好的答案应该是“机器无法判断，建议去让医生看看”。

#补充说明#

• 算法叫做朴素贝叶斯（NaiveBayes），是因为算法是在太简单了
• ‘&’能分开两个概率相乘是因为变量的独立性，如果不独立的话，这样计算会有误差
• 分母项 P（打喷嚏）× P（工人）在每次计算中都一样，可以只互相比较分子计算的结果作出判断
• 例子中最初的6个病人的数据叫做训练集

#训练集样本较小情况下的概率调整#
P（打喷嚏|过敏）和P（工人|过敏）分别为1，0，实际中不可能是这样的，因为没有什么是一定不发生，也没有什么100%发生。出现这种情况是因为我们的样本太少，如果样本足够多，概率会相对靠谱。
在起步阶段，样本就是很少，为了避免0，1这种极端概率，需要人为做一些数学变换。
比如，对过敏来说，每个症状的初始概率都为50%，当来了一个过敏病人，如果出现打喷嚏，那么P（打喷嚏|过敏）的概率就提升一点点，反之如果不打喷嚏，则P（打喷嚏|过敏）的概率就下降一点点。
这样使得每一个概率都变得在（0，1）之间平滑变化，对其他的变量也这样处理。
在《Programming Collective Intelligence》这本书中给出了这个变换的公式，我套用到过敏来说就是：

P（打喷嚏|过敏）调整 =（1×0.5 + 打喷嚏数 × P（打喷嚏|过敏）） / （1+打喷嚏数）
所以调整后的概率为：
P（打喷嚏|过敏）调整 = （0.5 + 3 ×1 ）/（1+3 ）=87.5%
P（工人|过敏）调整 = （0.5 + 2 ×0）/ （1+2）=16.7%

所以，在上例中计算第二种疾病的时候，如果用调整后的概率结果如下：

P（过敏|打喷嚏&工人）
= P（打喷嚏&工人|过敏）×P（过敏） / P（打喷嚏&工人）
= P（打喷嚏|过敏）× P（工人|过敏）× P（过敏） / P（打喷嚏）× P（工人）
= （87.5% × 16.7% × 1/6）/ （1/2 × 1/3）

= 14.6%

****#连续变量处理#****
对于上例来说，不论是职业还是症状，都是离散变量，也就是取值数有限，这样都可以通过数个数的方式来计算概率（古典概率模型），但是如果出现连续型变量就不能靠数个数了，比如身高，可以有175cm 176cm 176.1cm 176.11cm，无穷尽……

1. 处理方式一：离散化
   身高来说，可以就精确到cm，那么基于现实世界从40cm（婴儿）到230cm（姚明）基本就够用了，可以数个数。要么就分段【小于100cm】【100-150cm】【150-180cm】……这样也可以。
2. 处理方式二：利用变量的分布来计算概率
   一般来说自然界中的大部分变量都是符合正态分布的，正态分布是一个钟型曲线，概率意义是，一次实验取到均值附近概率最大，去到远离均值的值的概率越来越小。那么可以计算样本的均值和标准差，利用Z值【（实际值-均值）/标准差】，查标准正态分布表，查出取到每个样本值的概率。
   当然，如果明确知道变量属于某个其他分布，如泊松分布，那么就直接用分布函数求概率即可。

#数学表达以备装B之需#

NativeBayes