leetcode题解系列-003 寻找两个正序数组的中位数

老规矩，先上代码：

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// Created by tannzh on 2020/6/11.
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/*
给定两个大小为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。
请你找出这两个正序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

    示例 1:
    nums1 = [1, 3]
    nums2 = [2]

    则中位数是 2.0

    示例 2:
    nums1 = [1, 2]
    nums2 = [3, 4]

    则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
*/

#include 
#include 

using namespace std;
//二分查找
class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector& nums1, vector& nums2) {
        int m = nums1.size();
        int n = nums2.size();
        if (nums1.empty()) {
            if (n%2 != 0)
                return 1.0*nums2[n/2];
            return (nums2[n/2]+nums2[n/2-1])/2.0;
        }
        if (nums2.empty()) {
            if (m%2 != 0)
                return 1.0*nums1[m/2];
            return (nums1[m/2]+nums1[m/2-1])/2.0;
        }

        int total = (m+n+1)/2;
        int total2 = (m+n+2)/2;

        return (find_kth(nums1,0,nums2,0,total)+find_kth(nums1,0,nums2,0,total2))/2.0;
    }
    double find_kth(vector a, int a_begin, vector b, int b_begin, int k) {
        if (a_begin > a.size()-1)
            return b[b_begin+k-1];
        if (b_begin > b.size()-1)
            return a[a_begin+k-1];
        if (k == 1)
            return min(a[a_begin],b[b_begin]);

        int mid_a = INT_MAX;
        int mid_b = INT_MAX;
        if (a_begin+k/2-1 < a.size())
            mid_a = a[a_begin+k/2-1];
        if (b_begin+k/2-1 < b.size())
            mid_b = b[b_begin+k/2-1];

        if (mid_a < mid_b)
            return find_kth(a,a_begin+k/2,b,b_begin,k-k/2);
        return find_kth(a,a_begin,b,b_begin+k/2,k-k/2);
    }
};

int main(int argc, char **argv)
{
    Solution s;
    std::vector num1{1, 3};
    std::vector num2{2};

    std::vector num3{1, 2};
    std::vector num4{3, 4};

    std::cout << "result1 = " << s.findMedianSortedArrays(num1, num2) << std::endl;
    std::cout << "result2 = " << s.findMedianSortedArrays(num3, num4) << std::endl;
    return 0;
}

解题思路

 

本题若没有限制时间复杂度为O(log(m+n))的话，对两个数组使用归并排序，很容易可以找到他们的中位数，所用时间复杂度为O(m*n)。但是要将时间复杂度降为O(log(m+n))，就需要尝试对两个数组同时进行二分查找，逐步排除掉不可能出现中位数的区间，最后找到所求的中位数。这种解法的主要思想就是：

如果数组a的中位数小于数组b的中位数，那么整体的中位数只可能出现在a的右区间加上b的左区间之中；

如果数组a的中位数大于等于数组b的中位数，那么整体的中位数只可能出现在a的左区间加上b的右区间之中。

关键就是利用分治的思想逐渐缩小a的区间和b的区间来找到中位数。