机器学习(周志华)习题解答1.4: 两个算法到底孰优孰劣?没有免费午餐定理

说明:本文是自己对周志华 2016 年《机器学习》中“没有免费的午餐定理”的简单论证解释和习题 1.4 的解答,难免有误欢迎指正。看没看书不影响看本文的理解。

  我们在机器学习中衡量两个算法,到底孰优孰劣,该怎么考虑?“没有免费的午餐定理”仿佛给了一个很令人 depressing 的答案:针对某一域的所有问题,所有算法的期望性能是相同的。但注意,这里有两个关键词,某一域的“所有”,和“期望”性能。所以它并没有否认两个算法有优劣之分,并且事实上还提供了一个视角让我们理解为什么在机器学习中,我们可以选择算法的优劣性。
  
  “没有免费的午餐定理”就是由 Wolpert and Macready 在 1997 年在优化领域中提出的 No Free Lunch Theorems(NFL),可以简单理解为:针对某一具体域内的所有优化问题 Q,经过 m 步迭代之后达到目标函数给定值的所有可能性的累加和是相等。用在机器学习中就是刚刚说的“针对某一域的所有问题,所有算法的期望性能是相同的”, 在该域的有些问题上算法 La Lb 好,其余问题上则有 Lb La 好。

  现在来理解一下书中的证明过程(Page 8),这个没什么 tricky,希望有耐心些很好理解。需说明书中这里讨论的是二分类问题,假设数据空间 X 和假设空间 H 都是离散的,样本空间记作 X ;且真实目标函数对所有可能的 f 均匀分布。

  首先需要明确这里算法性能是通过衡量训练集外误差得到的,即 off-training error(ote),本题所说的“训练集外”就是 XX 。“误差”也就是机器学习所说的损失函数(Loss function),Page 8 已经要求了损失函数为 L(h,f(x))=1(h,f(x)) 。算法 La 在所有训练集外的误差其实就是机器学习中说的风险函数,即

Risk(X,La)=L(h,f(x))dF(x)
  上式应用于由本题,则损失函数 L 换成 1 ;由于本题是离散空间,积分变作对“训练集外”即 XX 求和,故写作下面 (1) 式,调整一下写法变成 (2) 式
   符号说明:
   1) fEote(La)|X,f) 表示在该域所有问题上算法 La 在训练集外即 XX 上的所有误差;
   2) P(h|X,La) 表示用算法 La 基于训练集 X 产生假设 h 的概率。

fEote(La)|X,f)=fhxXXP(x)1(h(x)f(x))P(h|X,La)=xXXP(x)hP(h|X,La)f1(h(x)f(x))=xXXP(x)hP(h|X,La)122|X|=122|X|xXXP(x)hP(h|X,La)=122|X|xXXP(x)1(1)(2)(3)(4)(5)
   (3) 式:由于假设“真实目标函数对所有可能的 f 均匀分布”,故对所有 f 求和后,任意假设 h 的准确率期望为一半。又由于 1 在正确时取 1 反之为 0,故 (2) 式末尾对 f 的求和得到的值为假设空间个数的一半,即得 (3) 式。
   (5) 式:即简单的概率求和, P(h|X,La) h 求和当然就是 1 了。还不理解的话?其实就是 P(A|B) A 求和的形式。
  
  所以最终得到了 任意两个算法 La Lb 的期望误差相等,即
fEote(La)|X,f)=fEote(Lb)|X,f)=122|X|xXXP(x)

  上面的证明损失函数用的是 1(h(x)f(x)) ,为了继续完善,考察定理是否对于任何性能度量都是成立,我们回到书中习题上:

习题 1.4 二分类问题中,若用其它性能度量 l ,请证明书中 1.4 节的“没有免费的午餐定理”仍然成立。

解答:这里要求“用其它度量 l ”, 事实上就是 (1) 式中用的损失函数 1(h(x)f(x)) 换作了

1(h(x)f(x))l(h,f(x))
  故 (3) 式中 122|X| 变作
122|X|l(h,f(x))|h(x)f(x)
  其中 l(h,f(x))|h(x)f(x) 就是指损失函数 l 在假设函数的值与原函数不符的时候的取值,对于这个 二分类问题有两种取值: l(1,0) 即把 0 分成了 1 的损失, l(0,1) 即把 1 分成 0 的损失,两者对于给定的 l 均为常数。故同样得到了类似 (5) 式的结论,即
fEote(La)|X,f)=fEote(Lb)|X,f)=122|X|l(h,f(x))|h(x)f(x)xXXP(x)
  即在这个二分类问题中,我们证明了 NFL 对其他性能度量也是成立的。之后我去冒昧看了一眼原论文(●—●)…发现##( _ _)ノ##…所以我们还是拿这个二分类问题随意感受一下 NFL 的思路和内涵就好~正经的证明并不是这里这么简单几句论述。

  最后需要明确:NFL 的一重要前提是“对某一域的所有问题”讨论。所以 NFL 只是告诉我们“脱离具体问题去讨论选择什么算法更好是毫无意义的”,因为若对所有潜在的问题考虑,则所有算法性能是一样的。但机器学习是针对某一特定问题去考虑的,所以我们仍然有选择算法优劣的必要性和可行性。

  比如考虑问题:从一个几km的大坡顶 A 地到坡底 B 什么交通工具划算(即算法)?我们会觉得自行车比汽车火车飞机都靠谱。但你非要说飞机可以从中国飞到美国,所以飞机这种交通工具也很好,你凭什么说自行车好?这就是在脱离实际问题了。这是因为我们在针对“从 A 到 B”这一具体问题讨论交通工具(算法)的选择。

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