矩阵论基础

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。

1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。

矩阵

矩阵类型

向量的类型根据元素的实际意义不同可以分为，

1. 物理向量

   泛指既有幅值，又有方向的物理量，如速度、加速度、位移等。

2. 几何向量

   为了将物理向量可视化，常用带方向的线段表示。这种有向线段出称为几何向量。

3. 代数向量

   几何向量可以用代数形式表示。例如，若平面上的几何向量$v=ab$中点a的坐标为$(a_1,a_2)$,点b的坐标为$(b_1,b_2)$，则该几何向量可以表示为代数形式$\left[\begin{array}{c}{b}_1-a_1\\ b_2-a_2\end{array}\right]$

其中，根据元素的类型不同，代数向量又可以分为以下三种，

1. 常数向量

   向量中的元素为实数或复数

2. 函数向量

   向量中的元素包含函数值，如$\mathbf{x}=[1,x,x^2,...,x^n{]}^T$

3. 随机向量

   向量中的元素为随机变量或随机过程，如$\mathbf{x}=[x_1(n),x_2(n),...,x_m(n){]}^T$，其中$x_1(n),x_2(n),...,x_m(n)$是$m$个随机过程或随机信号

矩阵运算

转置、共轭、共轭转置、加法、乘法和求逆

矩阵的基本运算包括矩阵的转置、共轭、共轭转置、加法、乘法和求逆
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1m}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2m}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mm}\end{array}\right]$$

1. 矩阵$A$的转置记为$A^T$，其元素定义为$[A^T{]}_{ij}=a_{ji}$，

$$A^T=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{m1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{m2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{1m}& a_{2m}& \cdots & a_{mm}\end{array}\right]$$

2. 矩阵$A$的共轭记为$A^{\ast }$，其元素定义为$[A^{\ast }{]}_{ij}=a_{ij}^{\ast }$，

$$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}^{\ast }& a_{12}^{\ast }& \cdots & a_{1m}^{\ast }\\ a_{21}^{\ast }& a_{22}^{\ast }& \cdots & a_{2m}^{\ast }\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}^{\ast }& a_{m2}^{\ast }& \cdots & a_{mm}^{\ast }\end{array}\right]$$

3. 矩阵$A$的共轭转置记为$A^H$，其元素定义为$[A^H{]}_{ij}=a_{ji}^{\ast }$，

$$A^T=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}^{\ast }& a_{21}^{\ast }& \cdots & a_{m1}^{\ast }\\ a_{12}^{\ast }& a_{22}^{\ast }& \cdots & a_{m2}^{\ast }\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{1m}^{\ast }& a_{2m}^{\ast }& \cdots & a_{mm}^{\ast }\end{array}\right]$$
共轭转置又被称为Hermitian伴随、Hermitian转置或Hermitian共轭，$A=A^T$的实方阵称为对称矩阵，$A=A^H$的复方阵称为Hermitian矩阵

4. 方阵$A$的逆矩阵记为$A^{-1}$，$A^{-1}$被定义为满足以下关系$A{A}^{-1}=A{A}^{-1}=\mathbf{I}$

5. 加法与乘法

   • 两个$m\times n$矩阵$A、B$的加法，$[A+B{]}_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

   • $m\times n$大小的矩阵$A$与$1\times n$大小的向量$x=[x_1,...,x_n]$相乘，$[Ax{]}_i={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j,i=1,...,m$

   • $m\times n$大小的矩阵$A$与$n\times r$大小的矩阵$B$相乘，$[AB{]}_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj},i=1,...,m;j=1,...,r$

   需要注意的是，一般来说，矩阵乘积是不满足交换律的

性质

关于矩阵中转置、共轭、共轭转置、求逆的性质

1. 分配律

   $(A+B{)}^{\ast }=A^{\ast }+B^{\ast },(A+B{)}^T=A^T+B^T,(A+B{)}^H=A^H+B^H$

2. 矩阵乘积中转置、共轭转置、求逆的性质

   $(AB{)}^T=B^T{A}^T,(AB{)}^H=B^H{A}^H,(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

3. 转置、共轭、共轭转置与求逆交换

   $(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast },(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T,(A^H{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^H$

矩阵函数

除了上述矩阵的基本运算之外，还有矩阵函数

1. 三角函数
   $$\begin{array}{rl}\sin (\mathbf{A})& =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{\mathbf{A}}^{2n+1}}{(2n+1)!}=\mathbf{A}-\frac{1}{3!}{\mathbf{A}}^3+\frac{1}{5!}{\mathbf{A}}^5-\cdots \\ \cos (\mathbf{A})& =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{\mathbf{A}}^{2n}}{(2n)!}=\mathbf{I}-\frac{1}{2!}{\mathbf{A}}^2+\frac{1}{4!}{\mathbf{A}}^4-\cdots \end{array}$$

2. 指数函数
   $$\begin{array}{rl}{\mathrm{e}}^A& =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{\mathbf{A}}^n=\mathbf{I}+\mathbf{A}+\frac{1}{2}{\mathbf{A}}^2+\frac{1}{3!}{\mathbf{A}}^3+\cdots \\ {\mathrm{e}}^{-\mathbf{A}}& =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}(-1{)}^n{\mathbf{A}}^n=\mathbf{I}-\mathbf{A}+\frac{1}{2}{\mathbf{A}}^2-\frac{1}{3!}{\mathbf{A}}^3+\cdots \\ {\mathrm{e}}^{\mathbf{A}t}& =\mathbf{I}+\mathbf{A}t+\frac{1}{2}{\mathbf{A}}^2{t}^2+\frac{1}{3!}{\mathbf{A}}^3{t}^3+\cdots \end{array}$$

3. 对数函数
   $$\ln (I+A)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{A}^n=A-\frac{1}{2}{A}^2+\frac{1}{3}{A}^3-\cdots$$

4. 矩阵导数
   $$\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}=\dot{\mathbf{A}}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\mathrm{d}{a}_{11}}{\mathrm{d}t}& \frac{\mathrm{d}{a}_{12}}{\mathrm{d}t}& \cdots & \frac{\mathrm{d}{a}_{1n}}{\mathrm{d}t}\\ \frac{\mathrm{d}{a}_{21}}{\mathrm{d}t}& \frac{\mathrm{d}{a}_{22}}{\mathrm{d}t}& \cdots & \frac{\mathrm{d}{a}_{2n}}{\mathrm{d}t}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\mathrm{d}{a}_{m1}}{\mathrm{d}t}& \frac{\mathrm{d}{a}_{m2}}{\mathrm{d}t}& \cdots & \frac{\mathrm{d}{a}_{mn}}{\mathrm{d}t}\end{array}\right]$$

5. 矩阵积分
   $$\int \mathbf{A}\mathrm{d}t=\left[\begin{array}{cccc}\int a_{11}\mathrm{d}t& \int a_{12}\mathrm{d}t& \cdots & \int a_{1n}\mathrm{d}t\\ a_{21}\mathrm{d}t& \int a_{22}\mathrm{d}t& \cdots & \int a_{2n}\mathrm{d}t\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \int a_{m1}\mathrm{d}t& \int a_{m2}\mathrm{d}t& \cdots & \int a_{mn}\mathrm{d}t\end{array}\right]$$

特殊矩阵

对角矩阵、零矩阵、单位矩阵

幂等矩阵

幂等矩阵$A$具有以下性质：

幂单矩阵

又被称为对合矩阵，若$A^2=AA=\mathbf{I}$，若$A$为幂单矩阵，则函数$f(\cdot )$具有以下性质：
$$f(s\mathbf{I}+t\mathbf{A})=\frac{1}{2}[(\mathbf{I}+\mathbf{A})f(s+t)+(\mathbf{I}-\mathbf{A})f(s-t)]$$
其中，幂等矩阵和幂单矩阵也有关系，矩阵$A$是幂单矩阵，当且仅当$\frac{1}{2}(A+\mathbf{I})$

幂零矩阵

方阵$A$被称为幂零矩阵，若$A^2=AA=\mathbf{O}$，若$A$为幂单矩阵，则函数$f(\cdot )$具有以下性质：
$$f(s\mathbf{I}+t\mathbf{A})=\mathbf{I}f(s)+t\mathbf{A}{f}^{\prime }(s)$$

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Source from: 《矩阵分析与应用》，张贤达