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频率域采样的理解

频率域采样有很多应用场合，因为现实中有很多仪器是在频率域进行测量的，比如射电望远镜就是测量视场内空间频率的仪器，测量的结果进行反向傅立叶变换而得到空间域的信息。

因此这篇博文我想把一些对于频率域采样的见解记录下来，以便交流。

为了简便，我从一维信号切入，并进行说明。设一个一维信号x\left ( t \right )，它是非周期信号，且满足傅立叶变换的条件，因此它的频率域表示X\left ( f \right )=\int_{-\infty}^\infty x\left(t \right ) e^{-j 2 \pi f t} dt。对于这个信号而言，它在时域上是一个非周期、连续信号，在频域上也是一个非周期、连续信号。为了方便说明假设x\left ( t \right )的时域波形图以及频域表示如下图所示，

频率域采样的理解_第1张图片频率域采样的理解_第2张图片

对频域进行采样，相当于上述过程变成了傅立叶级数展开。因为采样后的频域信号，是离散的信号，与其相对应的时域信号应该是周期的信号。下边公式描述了傅立叶级数展开的过程，其中k是整数，且k\epsilon (-\infty,\infty)。

a_k = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \widetilde{x}(t) e^{-j 2 \pi \frac{k}{T} t} dt

\widetilde{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_k e^{j 2 \pi \frac{k}{T} t}

设频域以\Delta f的间隔采样，那么相当于采样后的频域信号所对应的时域信号是一个周期为T=\frac{1}{\Delta f}是连续、周期信号，我设它为\widetilde{x}(t) = \widetilde{x}(t+T)。在一个周期内\widetilde{x}(t)=x(t)。在傅立叶级数展开中，\frac{1}{T}是基波频率，周期信号\widetilde{x}(t)展开为离散的、以基波频率\frac{1}{T}为步进的离散频域信号。

频率域采样的理解_第3张图片

随着频域采样间隔\Delta f变小，T变大，当\Delta f\rightarrow 0时，T\rightarrow \infty变大，也就是相当于傅立叶变换的过程，即连续、非周期时域信号x\left ( t \right )转换为连续、非周期频域信号X(f)。相反地，当\Delta f变大，T变小，这个过程如下图所展示的那样，

频率域采样的理解_第4张图片

转换回时域后的信号为周期、连续信号\widetilde{x}(t)=\widetilde{x}(t+T)，在一个周期内\widetilde{x}(t)=x(t)，随着\Delta f变大的过程，T变越来越小。当\Delta f大到一定程度后，会发生混叠。直观的说，混叠就是上图中两个相邻周期内的时域信号重叠在一起了，如下所示，

频率域采样的理解_第5张图片

因此当进行频域采样时，采样间隔\Delta f的大小是要注意的，不能过于大，这样会引起时域上的混叠。对于混叠，如果离散频域信号（离散的频谱）重建的时域周期、连续信号\widetilde{x}(t)在一个周期内不等于原始时域信号x(t)，那么这样的频域采样就有一些问题了，相当于丢失一部分信息。当然，如果除去混叠以外的信息仍旧满足需求，那么这部分混叠就是可以容忍的，因为你仍然可以从混叠的信号中拿回需要的信息。

一般来说，如果不希望在重建的时域信号中引入混叠，那么\Delta f \leq \frac{1}{T_{min}}，其中T_{min}是时域信号的最小周期（比如上图中时域方波信号的脉冲宽度）。

接下来我们从对一维信号的分析进入到对二维信号的分析。

典型的连续、非周期二维信号就是一幅模拟灰度图（如相机底片），它的空间频率域表示也是一个连续、非周期的信号。利用二维信号的空间频率域频谱采样后的样本进行重建，空间域的信号应为连续、周期的空间域二维信号。因此对于空间频率域的两个正交基(u,v)方向上的采样间隔\Delta u、\Delta v来说，重建后的空间域信号应该是一个连续、周期的二维信号，在x方向上的周期为T_1 = \frac{1}{\Delta u}，在y方向上的周期为T_2 = \frac{1}{\Delta v}，他们的大小会影响重建后的空间域信号是否混叠。下图为一个重建过程，与一维信号的重建过程相似，但是因为纸上画不出三维效果，所以空间频域的谱就不展示了（其实就是我懒+手残……）。

频率域采样的理解_第6张图片

那么当空间频率域的采样间隔\Delta u、\Delta v变大后，重建后的空间域信号周期会变小，如上图所示，当\frac{1}{\Delta u} > X时，x方向的重建信号发生混叠，当\frac{1}{\Delta v} > Y时，y方向的重建信号发生混叠。

频率域采样的理解_第7张图片

上图展示了重建后的周期延宕以及发生的混叠。就如上图所展示的情况而言，虽然重建后的图像发生了混叠，但是由于混叠并未丢失任何有效的信息（图片中的“A”），所以这个混叠是可以接受的。

以上是个人对频域采样的一些见解，希望大家拍砖！

我的邮箱：[email protected]，谢谢任何提供建议的人！

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