频率域采样的理解

频率域采样有很多应用场合，因为现实中有很多仪器是在频率域进行测量的，比如射电望远镜就是测量视场内空间频率的仪器，测量的结果进行反向傅立叶变换而得到空间域的信息。

因此这篇博文我想把一些对于频率域采样的见解记录下来，以便交流。

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为了简便，我从一维信号切入，并进行说明。设一个一维信号，它是非周期信号，且满足傅立叶变换的条件，因此它的频率域表示。对于这个信号而言，它在时域上是一个非周期、连续信号，在频域上也是一个非周期、连续信号。为了方便说明假设的时域波形图以及频域表示如下图所示，

对频域进行采样，相当于上述过程变成了傅立叶级数展开。因为采样后的频域信号，是离散的信号，与其相对应的时域信号应该是周期的信号。下边公式描述了傅立叶级数展开的过程，其中是整数，且。

设频域以的间隔采样，那么相当于采样后的频域信号所对应的时域信号是一个周期为是连续、周期信号，我设它为。在一个周期内。在傅立叶级数展开中，是基波频率，周期信号展开为离散的、以基波频率为步进的离散频域信号。

随着频域采样间隔变小，变大，当时，变大，也就是相当于傅立叶变换的过程，即连续、非周期时域信号转换为连续、非周期频域信号。相反地，当变大，变小，这个过程如下图所展示的那样，

转换回时域后的信号为周期、连续信号，在一个周期内，随着变大的过程，变越来越小。当大到一定程度后，会发生混叠。直观的说，混叠就是上图中两个相邻周期内的时域信号重叠在一起了，如下所示，

因此当进行频域采样时，采样间隔的大小是要注意的，不能过于大，这样会引起时域上的混叠。对于混叠，如果离散频域信号（离散的频谱）重建的时域周期、连续信号在一个周期内不等于原始时域信号，那么这样的频域采样就有一些问题了，相当于丢失一部分信息。当然，如果除去混叠以外的信息仍旧满足需求，那么这部分混叠就是可以容忍的，因为你仍然可以从混叠的信号中拿回需要的信息。

一般来说，如果不希望在重建的时域信号中引入混叠，那么，其中是时域信号的最小周期（比如上图中时域方波信号的脉冲宽度）。

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接下来我们从对一维信号的分析进入到对二维信号的分析。

典型的连续、非周期二维信号就是一幅模拟灰度图（如相机底片），它的空间频率域表示也是一个连续、非周期的信号。利用二维信号的空间频率域频谱采样后的样本进行重建，空间域的信号应为连续、周期的空间域二维信号。因此对于空间频率域的两个正交基方向上的采样间隔、来说，重建后的空间域信号应该是一个连续、周期的二维信号，在方向上的周期为，在方向上的周期为，他们的大小会影响重建后的空间域信号是否混叠。下图为一个重建过程，与一维信号的重建过程相似，但是因为纸上画不出三维效果，所以空间频域的谱就不展示了（其实就是我懒+手残……）。

那么当空间频率域的采样间隔、变大后，重建后的空间域信号周期会变小，如上图所示，当时，方向的重建信号发生混叠，当时，方向的重建信号发生混叠。

上图展示了重建后的周期延宕以及发生的混叠。就如上图所展示的情况而言，虽然重建后的图像发生了混叠，但是由于混叠并未丢失任何有效的信息（图片中的“A”），所以这个混叠是可以接受的。

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以上是个人对频域采样的一些见解，希望大家拍砖！

我的邮箱：[email protected]，谢谢任何提供建议的人！