高数小结

第1章 函数、 极限、 连续

双曲正弦

shx=ex−e−x2arshx=ln(x+x2+1−−−−−√)

双曲余弦

chx=ex+e−x2archx=ln(x+x2−1−−−−−√)

• 夹逼定理
• 无穷小，等价代换
• 函数的连续性

闭区间上连续函数的性质
1. 最值定理
2. 有界性定理
3. 介值定理

一致连续性定义与定理

[a,b]+连续⇒一致连续

---

第2章 导数与微分

{(arcsinx)′=11−x2√(arccosx)′=−(arcsinx)′

{(arctanx)′=11+x2(arccotx)′=−(arctanx)′

---

第3章中值定理与导数应用

前提

闭区间上连续，开区间上可导

---

罗尔定理 f(a)=f(b)

f′(ξ)=0

---

拉格朗日中值定理

f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)

又可以写成

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)

有限增量公式

f(x+Δx)−f(x)=f′(ξ)Δx=f′(x+θΔx)Δx

---

柯西中值定理 F′(x)≠0

f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ)

---

泰勒中值定理

如果函数 f(x) 在开区间 (a,b) 内有直到 (n+1) 阶的导数，则对于 ∀x∈(a,b) ，有

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)

---

麦克劳林公式 x0=0

f(x)=f(0)+f′(0)+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!+Rn(x)

---

常用麦克劳林公式

exsinxcosxln(1+x)(1+x)m=1+x+x22!+x33!+⋯=x−x33!+x55!−⋯=1−x22!+x44!−⋯=x−x22+x33−⋯=1+mx+m(m−1)2!x2+⋯

洛必达法则

---

第4章 不定积分

原函数

闭区间+连续

• 凑微分法
• 分部积分法
  
  ∫udv=uv−∫vdu

---

第5章 定积分及其应用

牛顿-莱布尼茨公式

∫baf(x)dx=F(b)−F(a)

---

原函数存在定理

ddx∫ϕ(x)φ(x)f(t)dt=f[φ(x)]φ′(x)−f[ϕ(x)]ϕ′(x)

---

第6章 向量代数与空间解析几何

a⃗ ×b⃗ =⎡⎣⎢⎢i⃗ axbxj⃗ aybyk⃗ azbz⎤⎦⎥⎥

(a⃗ ×b⃗ ⋅c⃗ )=⎡⎣⎢axbxcxaybycyazbzcz⎤⎦⎥

---

平面

Ax+By+Cz=0

---

直线

{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0

---

第7章 多元函数微分法及其应用

zu=f(x,y)=f(x,y,z)二元函数是一曲面密度

f(x,y)={xyx2+y20,x2+y2≠0,x2+y2=0

---

∂z∂x=fx(x,y)∂z∂y=fy(x,y)

∂2z∂x∂y=∂2z∂y∂x⟺连续

全微分

方向导数与梯度

∂f∂l=∂f∂xcosφ+∂f∂ysinφ

∇f(x,y)=grad f(x,y)=∂f∂xi⃗ +∂f∂yj⃗ 

∂f∂l=|grad f(x,y)|cosθ

---

第8章 重积分

---

第9章 曲线积分与曲面积分

 曲线 L:y=φ(x)

对弧长的曲线积分

∫Lf(x,y)ds=∫baf[x,φ(x)]1+φ(x)2−−−−−−−−√dx

对坐标的曲线积分

∫LP(x,y)dx+∫LQ(x,y)dy可记为∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy

计算方法

∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫βαP[x(t),y(t)]x′(t)dt+Q[x(t),t(t)]y′(t)dy

---

格林公式

∮Pdx+Qdy=∬∣∣∣∣∂∂xP∂∂yQ∣∣∣∣dxdy

---

平面上曲线积分和路径无关

∫LPdx+Qdy=u(x,y)−u(x0,y0)

等高线 梯度 等量面

• 场论
• 数量场
• 向量场
• 势场（梯度场）

---

二元泰勒公式

∑1n!(h∂∂x+k∂∂y)nf(x0,y0)

---

曲面的面积

A=∬Dxy1+(∂z∂x)2(∂z∂y)2−−−−−−−−−−−−−√dxdy

---

三重积分

∭Ωf(x,y,z)dv物质的质量∭Ωf(x,y,z)dv=∫badx∫y2(x)y1(x)dy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz

---

对面积的曲面积分 曲面的质量

∬∑f(x,y,z)dS=∬Dxyf(x,y,z)1+(∂z∂x)2(∂z∂y)2−−−−−−−−−−−−−√dxdy

---

对坐标的曲面积分 通量

v⃗ =Pi⃗ +Qj⃗ +Rk⃗ 

Φ=∬∑F⃗ ⋅dS⃗ =∬∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

---

高斯公式

分布在 Ω 内的源头在单位时间内所产生的流量等于单位时间内离开闭区域 Ω 的流体的总质量

∯∑Pdydz+Qdxdz+Rdxdy通量=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)散度

---

通量

∯A⃗ ⋅n⃗ ds

散度

div A⃗ =∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z

---

斯托克斯公式

∮LPdx+Qdy+Rdz环流量=∬∑∣∣∣∣∣∣dydz∂∂xPdzdx∂∂yQdxdy∂∂zR∣∣∣∣∣∣旋度

又可以写成

∯LA⃗ ⋅t⃗ dS=∬∑rotA⃗ ⋅n⃗ dS

---

闭曲线 L

向量微分算子

∇=∂∂xi⃗ +∂∂yj⃗ +∂∂zk⃗ 

∭Ω∇⋅A⃗ dv=∯∑An⋅dS∬∑(∇×n⃗ )dS=∮AtdS

∇u=gradu∇2=∇×∇u=∇⋅gradu=∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2

设 {A⃗ (x,y,z)}={P,Q,R} ，则

∇⋅A⃗ ={∂∂x,∂∂y,∂∂z}⋅{P,Q,R}=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z=divA⃗ ∇×A⃗ =rotA⃗ 

---

第10章无穷级数

---

第11章 微分方程

F(x,y,y′,⋯,y(n))=0

---

一阶微分方程

F(x,y,y′)=0 或 y′=f(x,y)

---

齐次方程

dydx=φ(yx)dydx=u+xdudxxdudx=φ(u)−u作变量代换y=ux,则代入原方程

---

一阶线性微分方程

dydx+P(x)y=Q(x)

---

伯努利方程

dydx+P(x)y=Q(x)y(n)