积分中值定理 柯西积分中值定理及其证明

积分中值定理是微积分中的一个重要定理,它将函数在某个区间上的积分与函数在该区间内的某个点的函数值联系起来。积分中值定理有助于理解函数的平均行为,并且在计算和估计积分时非常有用。

1. 积分中值定理的陈述

设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上连续,则存在一个点 c ∈ [ a , b ] c \in [a, b] c[a,b],使得:

∫ a b f ( x )   d x = f ( c ) ⋅ ( b − a ) 。 \int_{a}^{b} f(x) \, dx = f(c) \cdot (b - a)。 abf(x)dx=f(c)(ba)

换句话说,积分中值定理告诉我们,在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上的函数 f ( x ) f(x) f(x) 的定积分,等于函数在区间内某一点 c c c 的值乘以区间的长度 ( b − a ) (b - a) (ba)

这个点 c c c 通常可以被认为是使得函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上的平均值达到的点。

2. 升级版的积分中值定理(柯西积分中值定理)

积分中值定理的升级版本是 柯西积分中值定理(Cauchy’s Mean Value Theorem for Integrals)。该定理涉及两个函数的情况:

设函数 f ( x ) f(x) f(x) g ( x ) g(x) g(x) 在闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上连续,且 g ( x ) g(x) g(x) ( a , b ) (a, b) (a,b) 上有不变号(即 g ( x ) ≥ 0 g(x) \geq 0 g(x)0 g ( x ) ≤ 0 g(x) \leq 0 g(x)0),那么存在一个点 c ∈ [ a , b ] c \in [a, b] c[a,b],使得:

∫ a b f ( x ) g ( x )  

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