马氏距离-Mahalanobis Distance

Mahalanobis距离是表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系

与欧氏距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系（例如：一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息，因为两者是有关联的）并且是尺度无关的（scale-invariant），即独立于测量尺度。

举个例子，坐飞机从上海到北京和坐普快从上海到北京，由于速度的差异，会让人觉得距离也有变化，坐飞机可能觉得，好快啊，没多远，一下就到了，坐火车，时常会感觉好慢，怎么这么远。

再举个例子，小时候买菜都用杆秤，假如物品和秤砣恰好相等且分别放在秤的两端，那么提纽应该恰好在正中间。但随着物品的重量增大，而秤砣的重量不变，那么这时候，提纽就应该向物品一侧靠近，才能继续保持平衡。马氏距离，就是一个找到两个物体之间平衡点的方法。

对于一个均值为 μ=(μ1,μ2,μ3,…,μp)T ，协方差矩阵为 Σ 的多变量向量 x=(x1,x2,x3,…,xp)T ，其马氏距离为

DM(x)=(x−μ)TΣ−1(x−μ)−−−−−−−−−−−−−−−−√

协方差矩阵是方阵，其维度跟样本维度一样。

对于两个变量， x和y 的协方差计算公式： Cov(x,y)=E(x−e(x))(y−E(y))
对于多个列向量，协方差矩阵计算公式： Σij=cov(Dimi,Dimj)
即， Covij 表示第i维和第j维的协方差，举4维例子来说，设4个维度分别为a,b,c,d

Σij=⎛⎝⎜⎜⎜⎜cov(a,a)cov(b,a)cov(c,a)cov(d,a)cov(a,b)cov(b,b)cov(c,b)cov(d,b)cov(a,c)cov(b,c)cov(c,c)cov(d,c)cov(a,d)cov(b,d)cov(c,d)cov(d,d)⎞⎠⎟⎟⎟⎟

如果协方差矩阵为单位矩阵，马氏距离就简化为欧氏距离；如果协方差矩阵为对角阵，其也可称为正规化的欧氏距离。

DM(x)=∑i=1p(xi−yi)2σ2i−−−−−−−−−−−⎷

其中 σi 是 xi 的标准差。