对Dijkstra算法原理的一些理解

Dijkstra算法是经典的最小路径求解算法，本文主要谈谈我对Dijkstra算法原理的理解。重点是对算法迭代过程的合理性做简要阐述，并不是严格的证明。

关于算法的具体过程这里不再赘述。举个例子，假如研究对象是一个无向的加权图，由OABCDEFG八个节点和它们之间的加权边构成。Dijkstra算法的目的在于找到从O点开始到其他各点的最短路径。

在Dijkstra算法中，首先需要构造一个数组用于保存O点到其余各点的路径长度：

用其余各点和O点间边的权值来初始化该数组，如果其余节点与O点之间没有相连的边，则路径长度为∞，如果是写代码，一般可以用一个较大的数代替∞。O点是第一个选定的节点，所谓选定的节点就是已经确定最短路径的节点（在图中用红色表示），其余的都是候选节点。然后进入迭代过程，每一次迭代会对所有候选节点对应的路径长度进行更新，然后选出路径最短的候选节点作为新的选定节点，其路径就是相应的最短路径。依次迭代，直到所有的候选节点都被选定。

以下图为例：

注意，图中的节点间的连线不代表两节点间的实际连接，只是代表它们之间的连通关系（可能存在中间节点）。经过三次迭代之后，依次选定了ABC三个节点。然后进行第四次迭代，更新DOD、DOE、DOF和DOG。假设DOD是最小值，那么将节点D作为第四个选定的节点，O到D的最短路径为DOD。具体的更新过程如下：

DOD=min(DOD，DOC+dCD)=min(dOD，DOA+dAD，DOB+dBD，DOC+dCD)；

DOE=min(DOE，DOC+dCE)=min(dOE，DOA+dAE，DOB+dBE，DOC+dCE)；

DOF=min(DOF，DOC+dCF)=min(dOF，DOA+dAF，DOB+dBF，DOC+dCF)；

DOG=min(DOG，DOC+dCG)=min(dOG，DOA+dAG，DOB+dBG，DOC+dCG)；

DOD<DOE，DOF，DOG。

其中，D代表节点间的路径长度（存在中间节点），d代表节点间边的权值（不存在中间节点）。

下面我们来说明，为什么满足上面的条件后，D点肯定是下一个选定的节点，也就是为什么更新后的DOD就是O到D最短路径长度。

如果我们假设DOD不是O到D的最短路径长度，也就是说最短路径的前驱节点不在选定节点（O、A、B、C）当中。那么，列出O到D的最短路径的节点序列，肯定满足这样的情况：一串选定节点+一串候选节点+D节点（根据Dijkstra算法的详细过程自行脑补）。为方便说明，假设选定节点序列为OBA（说明DOBA=DOA），候选节点序列为EFG（说明DOBAE=DOE），那么O到D的最短路径的节点序列为：OBAEFGD，且DOBAEFGD<DOD。所以，DOE =DOBAE< DOBAEFGD<DOD，这显然与前面的条件矛盾。所以DOD肯定是O到D最短路径长度。

总结一下，我嘚啵嘚啵了那么久，就是要说明这样一个问题：如果第四次迭代后DOD最小，那么在O到D之间的最短路径中，D的前驱节点必然来自于已选定的节点（O、A、B、C）。为什么捏？因为如果你在D前面存在另一个候选节点E的话，可以证明，第四次迭代产生的DOE肯定要小于DOD，DOD就不会是最小的了。