反卷积

1.前言

   传统的CNN网络只能给出图像的LABLE，但是在很多情况下需要对识别的物体进行分割实现end to end，然后FCN出现了，给物体分割提供了一个非常重要的解决思路，其核心就是卷积与反卷积，所以这里就详细解释卷积与反卷积。

    对于1维的卷积，公式（离散）与计算过程（连续）如下，要记住的是其中一个函数（原函数或者卷积函数）在卷积前要翻转180度

图1

    对于离散卷积，f的大小是n1，g的大小是n2，卷积后的大小是n1+n2-1

2.图像卷积

图2

同样地，卷积的时候需要对卷积核进行180的旋转，同时卷积核中心与需计算的图像像素对齐，输出结构为中心对齐像素的一个新的像素值，计算例子如下

图3

这样计算出左上角(即第一行第一列)像素的卷积后像素值。

给出一个更直观的例子，从左到右看，原像素经过卷积由1变成-8。

图4

通过滑动卷积核，就可以得到整张图片的卷积结果，

图5

    到了这里，大致可以明白图像卷积。但是我们可以看出，通过图像卷积后，新图像的大小跟原来一样，或者变小。图2计算后图像大小不变，如图5卷积后图像变小是因为没有对所用像素进行卷积计算。但是1维的卷积结果不是变大了吗？ 下面对其解释。

    在matlb中对2维卷积的计算分为了3类，1.full   2.same   3. valid   参考：https://cn.mathworks.com/help/matlab/ref/conv2.html?requestedDomain=www.mathworks.com

图2对应的卷积就是就是所谓的same，图5对应的就是valid。那么full又是什么呢？如下图

图6

    图6中蓝色为原图像，白色为对应卷积所增加的padding，通常全部为0，绿色是卷积后图片。图6的卷积的滑动是从卷积核右下角与图片左上角重叠开始进行卷积，滑动步长为1，卷积核的中心元素对应卷积后图像的像素点。可以看到卷积后的图像是4X4，比原图2X2大了，我们还记1维卷积大小是n1+n2-1，这里原图是2X2，卷积核3X3，卷积后结果是4X4，与一维完全对应起来了。其实这才是完整的卷积计算，其他比它小的卷积结果都是省去了部分像素的卷积。下面是WIKI对应图像卷积后多出部分的解释：

Kernel convolution usually requires values from pixels outside of the image boundaries. There are a variety of methods for handling image edges.意思就是多出来的部分根据实际情况可以有不同的处理方法。（其实这里的full卷积就是后面要说的反卷积）

这里，我们可以总结出full，same，valid三种卷积后图像大小的计算公式：

1.full: 滑动步长为1，图片大小为N1xN1，卷积核大小为N2xN2，卷积后图像大小：N1+N2-1 x N1+N2-1

如图6， 滑动步长为1，图片大小为2x2，卷积核大小为3x3，卷积后图像大小：4x4

2.same: 滑动步长为1，图片大小为N1xN1，卷积核大小为N2xN2，卷积后图像大小：N1xN1

3.valid:滑动步长为S，图片大小为N1xN1，卷积核大小为N2xN2，卷积后图像大小：(N1-N2)/S+1 x (N1-N2)/S+1

如图5，滑动步长为1，图片大小为5x5，卷积核大小为3x3，卷积后图像大小：3x3

3.反卷积（后卷积，转置卷积）

    这里提到的反卷积跟1维信号处理的反卷积计算是很不一样的，FCN作者称为backwards convolution，有人称Deconvolution layer is a very unfortunate name and should rather be called a transposed convolutional layer. 我们可以知道，在CNN中有con layer与pool layer，con layer进行对图像卷积提取特征，pool layer对图像缩小一半筛选重要特征，对于经典的图像识别CNN网络，如IMAGENET，最后输出结果是1X1X1000，1000是类别种类，1x1得到的是。FCN作者，或者后来对end to end研究的人员，就是对最终1x1的结果使用反卷积（事实上FCN作者最后的输出不是1X1，是图片大小的32分之一，但不影响反卷积的使用）。

    这里图像的反卷积与图6的full卷积原理是一样的，使用了这一种反卷积手段使得图像可以变大，FCN作者使用的方法是这里所说反卷积的一种变体，这样就可以获得相应的像素值，图像可以实现end to end。

图7

    这里说另外一种反卷积做法，假设原图是3X3，首先使用上采样让图像变成7X7，可以看到图像多了很多空白的像素点。使用一个3X3的卷积核对图像进行滑动步长为1的valid卷积，得到一个5X5的图像，我们知道的是使用上采样扩大图片，使用反卷积填充图像内容，使得图像内容变得丰富，这也是CNN输出end to end结果的一种方法。韩国作者Hyeonwoo Noh使用VGG16层CNN网络后面加上对称的16层反卷积与上采样网络实现end to end 输出，其不同层上采样与反卷积变化效果如下，

                                                                                                                                                   图8

    到这里就把图像卷积与反卷积解释完成，如有不妥，请学者们指证。
    
    补充一个资料：
    图6与图7出处，https://github.com/vdumoulin/conv_arithmetic