语音识别学习记录 [再谈频率混叠（定量分析、离散采样后频谱的周期延拓）]

前几天在语音识别学习记录 [传说中的频率混叠和Nyquist定理（定性理解）]中简单理解了一下频率混叠的原因。但是也发现了很多不明白的问题：

1、为什么信号经过傅里叶变换后在频域是关于y轴对称的，这个问题的回答已经写在语音识别学习记录 [信号经傅里叶变换得到的频谱图为什么关于y轴对称（上两篇博客的补充）]中了。

2、为什么离散采样后的信号傅里叶变换后，在频域上的图像是周期性的，即离散采样后的信号的频谱跟原始信号频谱相比，为什么发生了周期延拓。本文来试图去解释这个问题。

先来看一下时域抽样，本文假设抽样脉冲是冲击序列（理想抽样）。如果看不明白可以去看郑君里的《信号与系统》3.10节中关于时域抽样的介绍。

令：

连续信号的傅里叶变换为，

抽样脉冲的傅里叶变换为，

抽样后信号的傅里叶变换为.

先给出这这六个函数的图形，跟着推导过程一起理解：

采用均匀抽样，抽样周期为，抽样频率为

                                                           

在一般情况下，抽样过程是通过抽样脉冲序列与连续信号相乘而实现的，即满足

                                                            

因为是周期信号，可得的傅里叶变换为（下式中是单位冲击函数，这一段抽样信号的傅里叶变换推导设计的概念比较多，包括频域卷积定理、冲击函数等，实在看不懂推导过程可以先认同推导中的结果，记住每一步推导得到的结果意义是什么，看下去的话其实是不影响理解的，如果真想仔细理解这些步骤的推导，可以参考郑君里《信号与系统》第三章）

                                                            

其中

                                                             

它是的傅里叶级数的系数。

根据频域卷积定理可得

                                                             

了解频域卷积定理的应该知道上式的*是卷积符号。

将带入上式可得

                                                             

从上式可以得出下面两个结论（关键）：

1、信号在时域被抽样后，它的频谱是连续信号频谱的形状以抽样频率为间隔周期的重复而得到的。

2、在重复的过程中幅度被的傅里叶系数所加权。是n的函数，跟无关，所以重复的过程中不会改变形状。

上面已经说过抽样脉冲是冲击函数（理想抽样），即

                                                             

可以计算出（具体计算过程不再说了，可以参考《信号与系统》）

                                                             

这样得到的就是上文图中的形状。

到此可以发现，

1、抽样信号的频谱图发生周期延拓的原因其实是抽样脉冲的影响。

2、从上面的图中也可以清晰的发现，如果原信号的最大角频率大于就会出现频率混叠的情况，从而不能还原原信号。