有限元分析的一些基本考虑--…

原文地址：有限元分析的一些基本考虑---单元大小对于计算精度的影响 作者：宋博士的博客

有限元分析一定可以得到问题的精确解吗？

理论上可以证明，如果插值函数使用了“协调和完整的位移函数”，则当网格尺寸逐渐减小而单元数量增加时，解就会单调收敛。

而且，当单元数目增加时，得到的刚度会降低，并收敛于真实刚度；这就意味着，当单元增加时，得到的位移增加，而收敛于精确位移解。其图形如下：

 

这里所说的“协调和完整位移函数”，是指：

1.近似函数式一般是多项式。

2.近似函数在单元内要保持连续。

3.近似函数应提供单元间的连续性，包括离散单元每一个节点所有自由度都应该是连续的，二维单元和三维单元沿着公共边界线和公共面必须是连续的。

既能够保证单元内的连续，又能够保证单元间的连续的形函数称为协调函数。

4.近似函数应考虑刚体位移和单元内的常应变状态。即有常数项保证刚体运动（无应变的运动），而有一次项保证有常应变状态发生。这是形函数的完整性问题。

例如，对于一维单元而言，若取形函数

则同时满足上面四个条件，称为协调且完整的位移函数。

一般来说，我们所用的单元使用的位移函数都满足上述四个条件，所以从理论上来说，只要网格加密，就可以收敛于真实解。

为了验证上述理论的真实性，我们选用了一个材料力学中的例子来做仿真。

该例子如下

使用材料力学的理论进行求解，简要过程如下

使用ANSYS进行分析，使用BEAM188单元，首先创建如图所示的几何模型

然后分别对各段直线加密网格划分，得到的结果如下

上表中，第一列是划分的单元数，第二列是最大的压应力，第三列是最大的拉应力。可以看到，随着单元数目的增加，最大拉伸，压缩应力的绝对值都在增加。

从材料力学得到的精确解，最大的压应力是-46.2MPa, 最大的拉应力是28.8MPa。这样，当单元数增加到64个时，压应力的误差是（46.2-45.7）/46.2 =1.1%; 拉应力的精度是（28.8-28.6)/28.8=0.7%.此时精度已经相当高了。

可以明显的看出，随着单元数目的增加，应力解的确是在逐渐逼近真实解。从这个方面来说，加密网格的确是提高计算精度的有效方法。

这也意味着，我们在有限元仿真中，如果要得到精确的结果，必须不断细分网格，直到结果收敛。否则，我们的得到结果就是不可信的。

那么，对于任何问题，只要网格无限细分，一定可以收敛于真实解吗？

未必。

下一篇文章将阐述此问题。