GICP学习笔记

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1、ICP算法

标准ICP算法的关键概念可归纳为两个步骤：

1. 计算两次扫描之间的对应关系。
2. 计算使对应点之间的距离最小化的变换。迭代地重复这两个步骤通常导致收敛到期望的变换。

 

2、点到面的ICP

                点对面的ICP变量利用表面法线信息，它并不是最小化，而是最小化表面法向量的误差，即，其中法向量是由投影面T·bi—mi到延伸的子空间的法向量，其中ηi是mi的表面法向量

3、GICP

（1）导数

1. 为了允许在最近点的查找中使用kd树，仍然使用标准欧几里德距离而不是概率测量来计算对应关系
2. 假定点云A= {ai}i=1,...,N，B={bi}i=1,...,N 已经通过ai到bi的关系建立了索引。同时，假定||mi — T ·bi|| > dmax的限制已经从数据中消除掉了
3. 假定两个点云A= {ai}i=1,...,N，其中  B={bi}i=1,...,N，其中，且

        假定{CiA} 与 {CiB}是两个点云的协方差矩阵，对于任意的刚体变换T，公式为：，并且认为d( iT∗)的分布已知。

      由于ai 和 bi已经被假定为独立同分布于高斯分布了，即：

     现在用极大似然估计法（MLE）去迭代计算T，即：

      在这里，引用一下高博在《视觉14讲》中优化部分的理论如下：

 

     根据上图中的方法，化简，之后就可以得到GICP中的关键步骤：

    原始的ICP算法可以看做是特殊情况下的GICP：，化简之后得到T的变换值：，

   在这个GICP的模型上可以自由地为{CiA} 和{CiB}选择协方差矩阵，因此点到面ICP也可更新为：

 

      注意：       Pi是平面法向量bi的投影面(正交投影矩阵，Pi = Pi2 = Pi')，要最小化的距离T · ai被定义为di，则我们可以得到公式：，化简后可得到点到面的ICP：

        当然，文中还提到了一种应用可逆矩阵Qi来近似不可逆矩阵Pi的平面法向量双向约束

（2）应用：面到面

假设数据集是局部平面化的，由于从两个不同的角度对流形进行采样，因此我们通常不会对完全相同的点进行采样（即，对应将永远不会是精确的）。 实质上，每个测量点仅沿其表面法线提供约束。 为了对这种结构进行建模，我们认为每个采样点沿其局部平面以高协方差分布，并且在表面法线方向上具有非常低的协方差。