厄拉多塞筛法 快速求质数 /回文子串
西元前250年，希腊数学家厄拉多塞(Eeatosthese)想到了一个非常美妙的质数筛法，减少了逐一检查每个数的的步骤，可以比较简单的从一大堆数字之中，筛选出质数来，这方法被称作厄拉多塞筛法(Sieve of Eeatosthese)。
具体操作：先将 2~n 的各个数放入表中，然后在2的上面画一个圆圈，然后划去2的其他倍数；第一个既未画圈又没有被划去的数是3，将它画圈，再划去3的其他倍数；现在既未画圈又没有被划去的第一个数 是5，将它画圈，并划去5的其他倍数……依次类推，一直到所有小于或等于 n 的各数都画了圈或划去为止。这时，表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 n 的素数。
其实，当你要画圈的素数的平方大于 n 时，那么后面没有划去的数都是素数，就不用继续判了。如下图：
这个介绍摘自 https://blog.csdn.net/u013291076/article/details/45575967
class Solution {
public:
int countPrimes(int n)
{
int count = 0;
bool prime[n+1];
for(int i = 0; i < n; ++i)
prime[i] = true;
for(int i = 2; i <= sqrt(n); ++i) //计数过程
{ //外循环优化，因为判断一个数是否为质数只需要整除到sqrt(n)，反推亦然
if(prime[i])//
{
for(int j = i * i; j < n; j += i) //每次增加的是i的倍数，这是需要划掉的。
//先将 2~n 的各个数放入表中，然后在2的上面画一个圆圈，然后划去2的其他倍数；第一个既未画圈又没有被划去的数是3，将它画圈，再划去3的其他倍数；现在既未画圈又没有被划去的第一个数 是5，将它画圈，并划去5的其他倍数……依次类推，一直到所有小于或等于 n 的各数都画了圈或划去为止。这时，表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 n 的素数。
{
prime[j] = false;
}
}
}
for (int i = 2; i < n; ++i)
{
if (prime[i]) count++;
}
return count;
}
};
如果上面的看的不明白可以使用下面的方法。
完全暴力求质数的算法
public int CountPrimes(int n)
{
int count = 0;
bool sign = true;
for (int i = 2; i < n; i++)
{
sign = true;
for (int j = 2; j < i; j++)
{
if (i % j == 0)
{
sign = false;
break;
}
}
if (sign)
count++; ;
}
return count;
}
优化后的暴力算法：
- 优化1：for (int i = 3; i < n; i+=2) //除2外的质数，都是奇数，可以去掉一半
- 优化2 ：j*j <= i 也有写成j <= sqrt(i)，前面的写法更好
一个数n如果不是素数那么一定存在若干因子（不少于2个），假设最小的因子是p，
那么p*p <= n
所以p < 根号n
- 优化3: 因为i都是奇数，奇数%偶数一定不等于0，所以只要考虑奇数就可以了。
//优化后的暴力算法
int countPrimes(int n)
{
int count = 0;
bool sign = true;
if(n>2) count++; //2是质数，并且是唯一的偶数
//优化1
for (int i = 3; i < n; i+=2) //除2外的质数，都是奇数
{
sign = true;
for (int j = 3; j*j <= i; j+=2)
//优化2 ：j*j <= i 也有写成j <= sqrt(i)，前面的更好
// 优化3: 因为i都是奇数，奇数%偶数一定不等于0，所以只要考虑奇数就可以了。
{
if (i % j == 0)
{
sign = false;
break;
}
}
if (sign)
count++;
}
return count;
}
647. 回文子串
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给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。
具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被计为是不同的子串。
示例 1:
输入: "abc"
输出: 3
解释: 三个回文子串: "a", "b", "c".
示例 2:
输入: "aaa"
输出: 6
说明: 6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa".
注意:
- 输入的字符串长度不会超过1000。
解题思路 动态规划法
dp[i][j]表示从i...j是否是一个回文串
dp[i][j] = 1; 如果dp[i + 1][j - 1] == 1 && s[i] == s[j]
dp[i][j] = 0; 其余情况
代码
char dp[1000][1000];
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s) {
int n = s.length();
if (n == 0) {
return 0;
}
memset(dp, 0, sizeof(dp));
// 边界初始化
int i, j, off;
for (i = 0; i < n; i++) {
for (off = 0; off < 2 && i + off < n; off++) {
if (s[i] == s[i + off]) {
dp[i][i + off] = 1;
}
}
}
// 遍历填充dp数组
for (i = n - 1; i >= 0; i--) {
for (j = i + 2; j < n; j++) {
if (dp[i + 1][j - 1] == 1 && s[i] == s[j]) {
dp[i][j] = 1;
}
}
}
// 统计结果
int num = 0;
}
};
/*
dp[i][j]表示从i...j是否是一个回文串
dp[i][j] = 1; 如果dp[i + 1][j - 1] == 1 && s[i] == s[j]
dp[i][j] = 0; 其余情况
*/
动态规划法
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s) {
int N = s.size();
if(N == 0) return 0;
int cnt = 0;
bool dp[N][N];
for(int i = 0;i < N;++i)
dp[i][i] = true;
for(int r = 1;r < N;++r)
for(int l = 0;l < r;++l){
if(s[l] == s[r] && (r-l==1 || dp[l+1][r-1])){
dp[l][r] = true;
cnt++;
}else
dp[l][r] = false;
}
return cnt+N;
}
};中心扩撒法：
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s)
{
if(s.empty()) return 0;
int res = 0;
for(int i=0;i=0 && end