相关和卷积

相关

在信号处理中，cross-correlation是用来度量两个有相对位移的函数（信号）的相似程度的。连续函数(信号) f 和 g 的相关定义为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(f⋆g)(τ) =def∫∞−∞f∗(t) g(t+τ)dt＝∫∞−∞f∗(t′−τ)g(t′)dt′

其中 f∗ 表示 f 的复共轭， τ 表示位移。
离散信号互相关的表示为：

(f⋆g)[n] =def∑m=−∞∞f∗[m] g[m+n]

卷积

卷积定义：

(f∗g)(t) =def∫∞−∞f(τ) g(t−τ)dt=∫∞−∞f(t−τ)g(τ)dτ

cross-correlation 和两个信号的卷积有些相似。而auto-correlation就是函数与自己做cross-correlation，自相关总会在 τ 等于0是达到峰值。
离散信号卷积的定义：

s[n]=(f∗g)[n] =def∑m=0N−1f[m] g[n−m]

相关和卷积性质：

• f(t) 和 g(t) 的互相关等于 f∗(−t) 和 g(t) 的卷积，即： f⋆g=f∗(−t)∗g
• F{f⋆g}=(F{f}∗⋅F{g} ,其中 F 表示傅里叶变换。
• 相关操作， f(t) 需要取复共轭， f(t) 也不需要翻转
• 卷积操作需要把 f(t) 翻转。

卷积的可视化例子

1、连续信号

２、离散信号
公式 s[n]=(f∗g)[n] =def∑N−1m=0f[m] g[n−m] 中N表示信号 f(n) 的信号长度， s[n] 为卷积信号结果。序列长度： len(f(n)+len(n)−1

example1:一维卷积

f(n)=[1 2 3];g(n) = [2 3 1];

s(0) = f(0)g(0-0) + f(1)g(0-1)+f(2)g(0-2)
= 1*2 + 2*0 + 3*0 =2

s(1) = f(0)g(1-0) + f(1)g(1-1) + f(2)g(1-2)
   = 1*3 + 2*2 + 3*0 = 7

s(2) = f(0)g(2-0) + f(1)g(2-1) + f(2)g(2-2)
=1*1 + 2*3 + 3*2=13

s(3) = f(0)g(3-0) + f(1)g(3-1) + f(2)g(3-2)
=1*0 + 2*1 + 3*3=11

s(4) = f(0)g(4-0) + f(1)g(4-1) + f(2)g(4-2)
=1*0 + 2*0 + 3*1=3

最终结果为:    s(n) = [2 7 13 11 3]

操作步骤：

　 　 　[２　　　　　　7 　　 　　　13　　　 　　７　　　　　 　 　3]
　 g(m) 在信号处理中通常叫做滤波器或掩码，卷积相当于掩码g(m)反转后在信号f(n)上平移求和。Matlab计算卷积的函数为conv,

A= [1 2 3];
B = [2,3,1];
convD = conv(A,B)
convD =[ 2 7 13 11 3]

example2二维卷积

二维卷积定义：

s(n1,n2)=∑k1=−∞∞∑k2=−∞∞f(k1,k2)g(n1−k1,n2−k2)

同一维情况一样，先将卷积模板翻转180°，过程如下：

参考文献：

1. 矩阵卷积、矩阵相乘的转化
2. 离散卷积与自相关———-信号处理系列