限定条件下的均值不等式求最值问题[整理]

前言

注意理解\(a+b\geqslant 2\sqrt{ab}\)，\(a,b>0\)，注意理解字母\(a\)，\(b\)能代表的内涵，比如可以是数字，字母；可以是单项式，多项式，可以是整式，分式，指数式，对数式，三角式，只要满足正定等三个条件即可使用，如果不满足此时只能依托对应的对勾函数的单调性求解最值。

回顾反思

均值不等式的使用技巧

①负化正；②拆添项；③凑系数；④在指数位置使用；

⑤连续多次使用；⑥组合使用；⑦在限定条件下使用；

\(ax+\cfrac{b}{x}\)型，其中\(x>0\)，\(a,b>0\)，形成思维定势，

⑧当均值不等式失效时，利用对勾型函数\(ax+\cfrac{b}{x}\)型\(x>0\)，\((a,b>0)\)的单调性求解；

案例分析

模型：已知\(m>0，n>0\)，\(2m+n=3\)，求\(\cfrac{2}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。 ¹

思考：上述求解过程和给定\(m>0，n>0\)，求\(\cfrac{2n}{m}+\cfrac{2m}{n}\)的最小值，有什么不同？

引申拓展

简单层次

变式01已知已知\(x>0，y>0\)，\(\cfrac{2}{y}+\cfrac{1}{x}=\cfrac{3}{xy}\)，求\(\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y}\)的最小值。

限定条件用数学背景给出

变式02已知直线\(ax+by-6=0(a，b>0)\)过圆\(x^2+y^2-2x-4y=0\)的圆心(或直线平分此圆)，求\(\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值。²

变式03已知正项等比数列\(\{a_n\}\)满足：\(a_7=a_6+2a_5\)，若存在两项\(a_m，a_n\)，使得\(a_ma_n=16a_1^2\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。³

变式04【2017宝鸡市三检】设向量\(\overrightarrow{OA}=(1，-2)\)，\(\overrightarrow{OB}=(a，-1)\)，\(\overrightarrow{OC}=(-b，0)\)，其中\(O\)为坐标原点，\(a，b>0\)，若\(A,B,C\)三点共线，则\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}\)的最小值为多少？⁴

变式05已知\(a>0，b>0\)，且函数\(f(x)=-x^3+2ax^2+bx+1\)在\(x=1\)处有极值，求\(\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值。⁵

还有没有其他的形式给出呢？⁶

限定条件隐含在题目中

变式06求\(f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}(0的最小值。⁷

思路完善

【模式1】：已知\(m>0，n>0\)，\(2m+n=3\)，求\(\cfrac{2}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

分析：\(\cfrac{2}{m}+\cfrac{1}{n}=\cfrac{1}{3}(\cfrac{2}{m}+\cfrac{1}{n})(2m+n)\)\(=\cfrac{1}{3}(5+\cfrac{2n}{m}+\cfrac{2m}{n})\geqslant \cfrac{1}{3}(5+2\sqrt{4})=3\)

特征和思路：给定条件是整式，求分式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式；

【模式2】：已知\(\cfrac{2}{m}+\cfrac{1}{n}=2，m>0，n>0\)，求 \(2m+n\)的最小值。

特征和思路：给定条件是分式，求整式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式；

【模式3】：已知\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1，a>0，b>0\)，求\(\cfrac{2}{a-1}+\cfrac{1}{b-2}\)的最小值。⁸

特征和思路：给定条件是分式，求分式的最值，变量集中，再使用均值不等式；

【模式4】：已知\(2a+b=1，a>0，b>0\)，求 \(a^2+2b^2\)的最小值。

特征和思路：给定条件是整式，求整式的最值，变量集中，用函数求解最值； 法2：数形结合；

看完这些内容，你难道不觉得我们很需要好好的改造我们的学习方法吗，比如说留意限定条件的各种可能的给出方式；

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1. 分析：\(\cfrac{2}{m}+\cfrac{1}{n}=\cfrac{1}{3}(\cfrac{2}{m}+\cfrac{1}{n})(2m+n)\)\(=\cfrac{1}{3}(5+\cfrac{2n}{m}+\cfrac{2m}{n})\geqslant \cfrac{1}{3}(5+2\sqrt{4})=3\)
   当且仅当\(\cfrac{2n}{m}=\cfrac{2m}{n}\)且\(2m+n=3\)时，即\(m=n=1\)取得等号。
   即\(\cfrac{2}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值为\(3\)。↩

2. 详解：圆心即\((1，2)\)，直线经过圆心，则有\(a+2b-6=0\)，即\(a+2b=6\)。
   到此，题目为\(a+2b=6，a>0，b>0\)，求\(\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值。可仿模型解决。↩

3. 详解：由\(a_7=a_6+2a_5\)，得到\(a_5\cdot q^2=a_5\cdot q+2a_5\)，解得\(q=2\)或\(q=-1\)(舍去负值)，
   即数列的通项公式为\(a_n=a_1\cdot 2^{n-1}\)；
   这样由\(a_m\cdot a_n=16a_1^2\)，得到\((a_1)^2\cdot 2^{m-1}\cdot 2^{n-1}=16a_1^2\)，即\(2^{m-1}\cdot 2^{n-1}=16=2^4\)
   即\(m+n=6，m >0，n >0\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值，这样不就好解多了吗？↩

4. 详解：由三点共线的向量表达方式可知，存在实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{OA}=\lambda \overrightarrow{OB}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}\)，
   即\((1，-2)=\lambda(a，-1)+(1-\lambda)(-b，0)\)即\(\begin{cases}\lambda a-(1-\lambda)b=1\\ -\lambda=-2 \end{cases}\)，即\(2a+b=1\)，
   这样题目就转化为已知\(2a+b=1，a>0，b>0\)，求\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}\)的最小值，这不就是上述题目吗？↩

5. 详解：\(f'(x)=-3x^2+4ax+b\)，\(f'(1)=-3+4a+b=0\)，
   到此即相当于已知\(4a+b=3\)，\(a>0\)，\(b>0\)，求\(\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值。↩

6. 以线性规划的形式给出；以概率中的数学期望的形式给出；以正态分布的形式给出；↩

7. 详解：法1，导数法；
   法2：注意到隐含条件\(x+(2-x)=2，x>0，2-x>0\)，则容易看到题目其实为
   已知\(x+(2-x)=2\)，\(x>0，2-x>0\)，求\(f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}(0的最小值。
   \(f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}\)
   \(=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x})\times 2\)
   \(=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x})[x+(2-x)]\)
   \(=\cfrac{1}{2}(1+4+\cfrac{2-x}{x}+\cfrac{4x}{2-x})\)
   \(\ge \cfrac{1}{2}(5+2\sqrt{4})=\cfrac{9}{2}\)，
   当且仅当\(\cfrac{2-x}{x}=\cfrac{4x}{2-x}\)且\(0时，
   即\(x=\cfrac{2}{3}\)时取得等号。
   故\(f(x)\)的最小值为\(\cfrac{9}{2}\)。↩

8. 已知\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1，a>0，b>0\)，得到\(0<\cfrac{2}{b}<1\)，得到\(b>2\)，
   由\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1\)，解得\(a=\cfrac{b}{b-2}\)，
   代入\(\cfrac{2}{a-1}+\cfrac{1}{b-2}=\cfrac{2}{\frac{b}{b-2}-1}+\cfrac{1}{b-2}\)\(=b-2+\cfrac{1}{b-2}\)\(\geqslant 2\)
   当且仅当\(b-2=\cfrac{1}{b-2}\)时，即\(b=3\)，\(a=3\)时取到等号；↩

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