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LeetCode 4. Median of Two Sorted Arrays
题目解析
给定两个有序的数组，找到两个数组的中位数。
解题思路
虽然两个数组都是有序的，要找到其中位数确实有点麻烦，因为两个数组不能简简单单合并起来。
采用最暴力的方法，开一个新向量，把两个数组都放进去，重新排序，然后取其中位数。然而这种方法的时间复杂度是 \((n+m)log(n+m)\) ，不符合题目要求。虽然可以AC，但时间确实久了些，只能打败10%的人，只能说LeetCode的时间判断有毒，参考代码如下：
class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(vector& nums1, vector& nums2) {
vector V;
V.clear();
if(nums1.size() == 0 && nums2.size() == 0) return 0.0;
else
{
for (int i = 0; i < nums1.size(); ++i) V.push_back(nums1[i]);
for (int i = 0; i < nums2.size(); ++i) V.push_back(nums2[i]);
sort(V.begin(), V.end());
double ans = 0.0;
int len = V.size();
if (len % 2 == 0)
ans = ((double)V[len / 2] + V[len / 2 - 1]) / 2;
else
ans = (double)V[len / 2];
return ans;
}
}
}; 二分解法（一）
所以，题目要求的 \(log(n+m)\) 算法到底是什么呢？大概可以猜出需要使用二分法，在两个数组里使用二分法，这就是这道题的Hard点了。官方题解：median-of-two-sorted-arrays/solution/，其中讲的比较清楚，有图有说明，注意最后的JAVA代码有点小bug，评论中也有说明。
巧妙地运用中位数的性质，将所有数分成相等的两份，两个指针i、j之间关系确定，通过二分找到合适的 \(i\) ，再考虑奇偶问题。不过说实话对于二分我一直有一种害怕，总是不能明白循环终止时具体什么情况。
JAVA参考代码，已修改小bug：
class Solution {
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int m = nums1.length;
int n = nums2.length;
if (m > n) { // to ensure m<=n
int[] temp = nums1; nums1 = nums2; nums2 = temp;
int tmp = m; m = n; n = tmp;
}
int iMin = 0, iMax = m, halfLen = (m + n + 1) / 2;
while (iMin <= iMax) {
int i = (iMin + iMax) / 2;
int j = halfLen - i;
if (i < iMax && nums2[j-1] > nums1[i]){
iMin = i + 1; // i is too small
}
else if (i > iMin && nums1[i-1] > nums2[j]) {
iMax = i - 1; // i is too big
}
else { // i is perfect
int maxLeft = 0;
if (i == 0) { maxLeft = nums2[j-1]; }
else if (j == 0) { maxLeft = nums1[i-1]; }
else { maxLeft = Math.max(nums1[i-1], nums2[j-1]); }
if ( (m + n) % 2 == 1 ) { return maxLeft; }
int minRight = 0;
if (i == m) { minRight = nums2[j]; }
else if (j == n) { minRight = nums1[i]; }
else { minRight = Math.min(nums2[j], nums1[i]); }
return (maxLeft + minRight) / 2.0;
}
}
return 0.0;
}
}
二分解法（二）
本题还有另一种巧妙解法，参考：巧妙解法。分析下来，其实是解法一中的改进版本，思路是一样的。
同样是二分，其实道理和上面一样，用两个指针（mid1和mid2）分别切割两个数组，不过这里换了一种解释方法，假设数组两边有一个极小值和极大值，避免了边界问题。同时转化了中位数的概念，利用分割左值L和右值R，使得奇数和偶数可以不加区分。
时间复杂度：$O(log(min(m,n)))，又快有准。参考代码如下：
class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(vector& nums1, vector& nums2) {
int m = nums1.size(), n = nums2.size();
if (m < n) return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
if (n == 0) return ((double)nums1[(m - 1) / 2] + (double)nums1[m / 2]) / 2.0;
int left = 0, right = n * 2;
while (left <= right) {
int mid2 = (left + right) / 2;
int mid1 = m + n - mid2;
double L1 = mid1 == 0 ? INT_MIN : nums1[(mid1 - 1) / 2];
double L2 = mid2 == 0 ? INT_MIN : nums2[(mid2 - 1) / 2];
double R1 = mid1 == m * 2 ? INT_MAX : nums1[mid1 / 2];
double R2 = mid2 == n * 2 ? INT_MAX : nums2[mid2 / 2];
if (L1 > R2) left = mid2 + 1;
else if (L2 > R1) right = mid2 - 1;
else return (max(L1, L2) + min(R1, R2)) / 2;
}
return -1;
}
}; 巧妙解法
参考链接：寻找第k小，[LeetCode] Median of Two Sorted Arrays中解法一类似。将问题转化成寻找第K小的数。
时间复杂度：\(O(log(m+n))\)。参考代码如下：
class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(vector& nums1, vector& nums2) {
int total = nums1.size() + nums2.size();
if (total % 2 == 1) {
return findKth(nums1, 0, nums2, 0, total / 2 + 1);
} else {
return (findKth(nums1, 0, nums2, 0, total / 2) + findKth(nums1, 0, nums2, 0, total / 2 + 1)) / 2;
}
}
double findKth(vector &nums1, int i, vector &nums2, int j, int k) {
if (nums1.size() - i > nums2.size() - j) return findKth(nums2, j, nums1, i, k);
if (nums1.size() == i) return nums2[j + k - 1];
if (k == 1) return min(nums1[i], nums2[j]);
int pa = min(i + k / 2, int(nums1.size())), pb = j + k - pa + i;
if (nums1[pa - 1] < nums2[pb - 1])
return findKth(nums1, pa, nums2, j, k - pa + i);
else if (nums1[pa - 1] > nums2[pb - 1])
return findKth(nums1, i, nums2, pb, k - pb + j);
else
return nums1[pa - 1];
}
}; 我细致想了想，后面所讲的三种方法其实核心思想相同，具体实现有所不同，不知道大家理解了没有？个人认为第二个代码最好理解，你觉得呢？
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