【机器学习】优化算法小结2——梯度下降、Adam算法

首先回顾一下梯度下降。。。机器学习-梯度下降法

梯度：梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

梯度下降

学习过程需要一个机制去评估我们θ是否比较好，所以说需要对我们做出的h函数进行评估，一般这个函数称为损失函数，给定损失函数

如何调整θ以使得J(θ)取得最小值？

梯度下降法是按下面的流程进行的：
1）首先对θ赋值，这个值可以是随机的，也可以让θ是一个全零的向量。
2）改变θ的值，使得J(θ)按梯度下降的方向进行减少。

梯度下降法的一般步骤：

梯度下降的优缺点：

梯度下降每次学习都使用整个训练集，因此其优点在于每次更新都会朝着正确的方向进行，最后能够保证收敛于极值点(凸函数收敛于全局极值点，非凸函数可能会收敛于局部极值点)，但是其缺点在于每次学习时间过长（收敛慢），并且如果训练集很大以至于需要消耗大量的内存，并且全量梯度下降不能进行在线模型参数更新。

随机梯度下降Stochastic gradient descent

随机梯度下降算法每次从训练集中随机选择一个样本来进行学习，即：

批量梯度下降算法每次都会使用全部训练样本，因此这些计算是冗余的，因为每次都使用完全相同的样本集。

而随机梯度下降算法每次只随机选择一个样本来更新模型参数，因此每次的学习是非常快速的，并且可以进行在线更新。

 随机梯度下降最大的缺点在于每次更新可能并不会按照正确的方向进行，因此可以带来优化波动(扰动)，如下图：

不过从另一个方面来看，随机梯度下降所带来的波动有个好处就是，对于类似盆地区域（即很多局部极小值点）那么这个波动的特点可能会使得优化的方向从当前的局部极小值点跳到另一个更好的局部极小值点，这样便可能对于非凸函数，最终收敛于一个较好的局部极值点，甚至全局极值点。
由于波动，因此会使得迭代次数（学习次数）增多，即收敛速度变慢。不过最终其会和全量梯度下降算法一样，具有相同的收敛性，即凸函数收敛于全局极值点，非凸损失函数收敛于局部极值点。

小批量梯度下降Mini-batch gradient descent

Mini-batch梯度下降综合了batch梯度下降与stochastic梯度下降，在每次更新速度与更新次数中间取得一个平衡，其每次更新从训练集中随机选择m,m

相对于随机梯度下降，Mini-batch梯度下降降低了收敛波动性，即降低了参数更新的方差，使得更新更加稳定。相对于全量梯度下降，其提高了每次学习的速度。并且其不用担心内存瓶颈从而可以利用矩阵运算进行高效计算。一般而言每次更新随机选择[50,256]个样本进行学习，但是也要根据具体问题而选择，实践中可以进行多次试验，选择一个更新速度与更次次数都较适合的样本数。

两者的关系可以这样理解：随机梯度下降方法以损失很小的一部分精确度和增加一定数量的迭代次数为代价，换取了总体的优化效率的提升。增加的迭代次数远远小于样本的数量。

对批量梯度下降法和随机梯度下降法的总结：

批量梯度下降---最小化所有训练样本的损失函数，使得最终求解的是全局的最优解，即求解的参数是使得风险函数最小，但是对于大规模样本问题效率低下。

随机梯度下降---最小化每条样本的损失函数，虽然不是每次迭代得到的损失函数都向着全局最优方向， 但是大的整体的方向是向全局最优解的，最终的结果往往是在全局最优解附近，适用于大规模训练样本情况。

梯度下降法的挑战

虽然梯度下降算法效果很好，并且广泛使用，但同时其也存在一些挑战与问题需要解决：
1）选择一个合理的学习速率很难。如果学习速率过小，则会导致收敛速度很慢。如果学习速率过大，那么其会阻碍收敛，即在极值点附近会振荡。

2）学习速率调整(又称学习速率调度，Learning rate schedules)试图在每次更新过程中，改变学习速率，如退火。一般使用某种事先设定的策略或者在每次迭代中衰减一个较小的阈值。无论哪种调整方法，都需要事先进行固定设置，这边便无法自适应每次学习的数据集特点。

3）模型所有的参数每次更新都是使用相同的学习速率。如果数据特征是稀疏的或者每个特征有着不同的取值统计特征与空间，那么便不能在每次更新中每个参数使用相同的学习速率，那些很少出现的特征应该使用一个相对较大的学习速率。

4）对于非凸目标函数，容易陷入那些次优的局部极值点中，如在神经网路中。那么如何避免呢。Dauphin指出更严重的问题不是局部极值点，而是鞍点(These saddle points are usually surrounded by a plateau of the same error, which makes it notoriously hard for SGD to escape, as the gradient is close to zero in all dimensions.)。

Adam算法

我们初学的算法一般都是从SGD入门的，参数更新是：

它的梯度路线为：（波动很大）

可以看出它的上下波动很大，收敛的速度很慢。因此根据这些原因，有人提出了Momentum优化算法，这个是基于SGD的，简单理解，就是为了防止波动，取前几次波动的平均值当做这次的W。这个就用到理论的计算梯度的指数加权平均数，引进超参数（动量项）beta(一般取0.9)：

SGD方法中的高方差振荡使得网络很难稳定收敛，所以有研究者提出了一种称为动量（Momentum）的技术，通过优化相关方向的训练和弱化无关方向的振荡，来加速SGD训练。换句话说，这种新方法将上个步骤中更新向量的分量添加到当前更新向量。

beta和1-beta分别代表之前的dW权重和现在的权重。

效果图如下(红色)：

这里的动量与经典物理学中的动量是一致的，就像从山上投出一个球，在下落过程中收集动量，小球的速度不断增加。

在参数更新过程中，其原理类似：

1)使网络能更优和更稳定的收敛；

2)减少振荡过程。

当其梯度指向实际移动方向时，动量项γ增大；当梯度与实际移动方向相反时，γ减小。这种方式意味着动量项只对相关样本进行参数更新，减少了不必要的参数更新，从而得到更快且稳定的收敛，也减少了振荡过程。

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Adagrad

上面提到的方法对于所有参数都使用了同一个更新速率。但是同一个更新速率不一定适合所有参数。比如有的参数可能已经到了仅需要微调的阶段，但又有些参数由于对应样本少等原因，还需要较大幅度的调动。

Adagrad就是针对这一问题提出的，自适应地为各个参数分配不同学习率的算法。

其含义对于每个参数，随着其更新的总距离增多，其学习速率也随之变慢。

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Adadelta

Adagrad算法存在三个问题

• 其学习率是单调递减的，训练后期学习率非常小
• 其需要手工设置一个全局的初始学习率
• 更新xt时，左右两边的单位不统一

RMSprop 和 Adadelta 都是为了解决 Adagrad 学习率急剧下降问题的。

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Adam算法    深度学习最常用的学习算法：Adam优化算法

Adam 是一种可以替代传统随机梯度下降过程的一阶优化算法。这个算法是另一种计算每个参数的自适应学习率的方法。

除了像 Adadelta 和 RMSprop 一样存储了过去梯度的平方 vt 的指数衰减平均值 ，也像 momentum一样保持了过去梯度 mt 的指数衰减平均值：

算法为(很明显看出是两者的结合，其中多了一步V和S的调节，t为迭代次数，除以1-beta^t表示越近的重要，越远的就可以忽视)：

Adam优化算法的基本机制

Adam 算法和传统的随机梯度下降不同。随机梯度下降保持单一的学习率（即 alpha）更新所有的权重，学习率在训练过程中并不会改变。而 Adam 通过计算梯度的一阶矩估计和二阶矩估计而为不同的参数设计独立的自适应性学习率。

Adam 算法的提出者描述其为两种随机梯度下降扩展式的优点集合，即：

适应性梯度算法（AdaGrad）为每一个参数保留一个学习率以提升在稀疏梯度（即自然语言和计算机视觉问题）上的性能。
均方根传播（RMSProp）基于权重梯度最近量级的均值为每一个参数适应性地保留学习率。这意味着算法在非稳态和在线问题上有很有优秀的性能。

Adam 算法同时获得了 AdaGrad 和 RMSProp 算法的优点。Adam 不仅如 RMSProp 算法那样基于一阶矩均值计算适应性参数学习率，它同时还充分利用了梯度的二阶矩均值（即有偏方差/uncentered variance）。具体来说，算法计算了梯度的指数移动均值，超参数 beta1 和 beta2 控制了这些移动均值的衰减率。

移动均值的初始值和 beta1、beta2 值接近于 1（推荐值），因此矩估计的偏差接近于 0。该偏差通过首先计算带偏差的估计而后计算偏差修正后的估计而得到提升。如果对具体的实现细节和推导过程感兴趣，可以继续阅读该第二部分和原论文。

Adam的参数配置

alpha：同样也称为学习率或步长因子，它控制了权重的更新比率（如 0.001）。较大的值（如 0.3）在学习率更新前会有更快的初始学习，而较小的值（如 1.0E-5）会令训练收敛到更好的性能。

beta1：一阶矩估计的指数衰减率（如 0.9）。

beta2：二阶矩估计的指数衰减率（如 0.999）。该超参数在稀疏梯度（如在 NLP 或计算机视觉任务中）中应该设置为接近 1 的数。
epsilon：该参数是非常小的数，其为了防止在实现中除以零（如 10E-8）。

另外，学习率衰减同样可以应用到 Adam 中。原论文使用衰减率 alpha = alpha/sqrt(t) 在 logistic 回归每个 epoch(t) 中都得到更新。

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Momentum是为了对冲mini-batch带来的抖动。

RMSprop是为了对hyper-parameter进行归一，均方根反向传播(RMSProp)。

这两个加起来就是Adam

看原始的RMSProp算法: 

adam其实就是Momentum+RMSProp的结合，然后再修正其偏差。 

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结论

在构建神经网络模型时，选择出最佳的优化器，以便快速收敛并正确学习，同时调整内部参数，最大程度地最小化损失函数。

Adam在实际应用中效果良好，超过了其他的自适应技术。

如果输入数据集比较稀疏，SGD、NAG和动量项等方法可能效果不好。因此对于稀疏数据集，应该使用某种自适应学习率的方法，且另一好处为不需要人为调整学习率，使用默认参数就可能获得最优值。

如果想使训练深层网络模型快速收敛或所构建的神经网络较为复杂，则应该使用Adam或其他自适应学习速率的方法，因为这些方法的实际效果更优。

• 优化器、优化算法与损失函数的关系

之前搞不懂优化器（Adam）和优化算法（SGD）之间的关系，它们是等价的含义，都是用来优化模型中的网络参数（W和b）使其达到最优值。

随机梯度下降、动量、RmsProp、AdamDelta、Adam方法优化

参考：

https://www.jianshu.com/p/548049548fb9

一文看懂各种神经网络优化算法：从梯度下降到Adam方法

深度学习剖根问底: Adam优化算法理解

机器学习入门：线性回归及梯度下降