余弦信号的傅里叶变换分析

1 加窗

对周期信号时域加窗会将无限长周期信号截断为有限长,于是在频域上原离散谱就会变为连续谱,由此降低分辨率(原单根谱线展开为窗函数谱的移位,因此分辨率主要受窗函数主瓣宽度影响)并产生泄漏(两个相邻谱线互相影响,因此泄漏主要受主瓣与旁瓣相对幅度的影响)。

矩形窗具有最窄的主瓣,但同时有最高的旁瓣。

2 谱采样

加窗序列的DFT给出了加窗序列(记为v[n])的傅里叶变换(记为V(e))的等间隔采样。由于采样点未必位于V(e)的峰值点,所以DFT峰的幅度不一定等于V(e)峰的幅度。

然而,如果矩形窗函数刚好截出了整数个信号周期,那么DFT的峰必定等于V(e)的峰,DFT峰的频率也必定等于V(e)峰的频率,且DFT在其他采样点上刚好对应于V(e)的零值点。对于单频信号这似乎是一个很漂亮的结果。但如果信号本身就是有限长,这种现象实际上使得我们无法看到其他频率处的值。通过对加窗后的信号补零,就可以使我们看到那些(当矩形窗刚好截出整数个周期时)原本看不到的频率点上的幅值。

这里要注意的是,虽说在计算DFT前先给加窗后的信号补零(提高DFT长度)可以得到频率等分更密集的傅里叶变换,但这不会提高频率分辨率,频率分辨率只取决于窗的长度和形状。补零只是让你看到原相邻两个频点之间的那些频率上的幅值(频域过采样),但原先分辨不出的频率补零后照样分辨不出。

更明确的说,窗函数的长度和形状决定频率分辨率,DFT长度决定相邻谱线间隔。

当(矩形)窗的长度等于DFT长度时,相邻谱线间隔就等于频率分辨率。

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