前言：
本次实验包含了2部分：贝叶斯模型参数的学习以及贝叶斯模型结构的学习，在前面的博文PGM练习七：CRF中参数的学习 中我们已经知道怎样学习马尔科夫模型(CRF)的参数，那个实验采用的是优化方法，而这里贝叶斯模型参数的学习是先假定样本符合某种分布，然后使用统计的方法去学习这些分布的参数，来达到学习模型参数的目的。实验内容请参考 coursera课程：Probabilistic Graphical Models 中的assignmnet 8,实验code可参考网友的:code
实验中所用到的body pose表现形式如下：
共有10个节点，每个节点由2个坐标变量和1个方向变量构成。关节名称和坐标系可直接参考上图。
matlab知识：
cov(x): 求的是X无偏差的协方差，即分母除的是n-1.
cov(X,1):求的是X的最大似然估计协方差，即分母除的是n.
实验中一些函数简单说明：
[mu sigma] = FitGaussianParameters(X):
实验1内容。输入X是一个向量，该函数是计算X的均值和标准差，直接按照均值方程公式计算就OK了。
[Beta sigma] = FitLinearGaussianParameters(X, U):
实验2内容。X: 大小为(M x 1),表示输入的样本向量X含有M个样本，是树结构中的子节点。U: 大小为(M x N), 表示有N个父节点，每个父节点也对应M个样本。该函数主要是计算N+1个beta系数和一个sigma系数，其计算方法可参考前面的公式。给出本节点的数据和其所有父节点的数据，就可以计算出在父节点下的条件概率参数。本实验中，如果某个节点只含有一个父节点，在使用公式计算时也相当于有3个父节点，这是因为每个节点由3个维度构成，需4个参数。
关于CLG(conditional linear Gaussian)模型有：
如果节点X有n个父节点U1..Un,则条件概率为：
求出样本的log似然表达式，然后分别这些表达式中的n+1个参数求导，令导数为0,化简后可得到n+1个方程，其中与X直接相关的为：
其它X分别与n个父节点相关的方程为：
利用上面n+1个方程就可以求出Beta的n+1个参数了，最后将log似然函数对sigda求导，并化简有下面式子(怎么我推导出来不同呢):
这样的话，CLG模型中所有的参数都可以从数据样本中学到了。
VisualizeDataset(Dataset):
DataSet大小为n*10*3，即有n个样本，每个样本包含了骨架中的10个节点信息。该函数是将这n个样本对应的骨架图一张张显示出来，有动画感，大家可以跑一下， 有点意思。
val = lognormpdf(x, mu, sigma):
求高斯分布在x处的log值，高斯分布的参数为mu和sigma，可以是多维的高斯分布。
loglikelihood = ComputeLogLikelihood(P, G, dataset):
实验3的内容。P为模型参数的结构体,P.c为长度为2的向量，其值分别代表human和alien的先验概率。P.clg为CLG模型中的参数，包含有mu_x, mu_y, mu_angle, sigma_x, sigma_y, sigma_angle, 以及theta(theta长度为12,因为每个节点有3个坐标信息，而每个坐标在其父节点情况下需4个参数表示). 当然P.clg中应该同时包含human和alien的这些参数。参数G为父节点的描述，具体表示细节可参考实验教材。dataset为训练样本，大小为N x 10 x 3. 输出参数loglikelihood为整个dataset在模型下的log似然值。似然函数值表示模型对数据的拟合程度，可作为后续样本分类的依据。loglikeihood的值按下列公式计算：
其中的联合概率可以按类别的全概率公式分解计算，如下：
[P loglikelihood] = LearnCPDsGivenGraph(dataset, G, labels):
实验4的内容。在实验3中，我们是已知了每个节点的CLG参数，然后求在这些参数下数据的似然值的。那么这些参数到底怎样得到呢？本函数就是完成该功能的。对每个节点的3个坐标而言，每次计算一个坐标对应的CLG参数，使用的样本为：该数据对应的样本以及其父节点对应样本(包含全部3个坐标)，然后调用FitLinearGaussianParameters()来计算模型参数，结果都保存在P中，另外输出的loglikelihood是直接调用ComputeLogLikelihood()来函数实现。
accuracy = ClassifyDataset(dataset, labels, P, G):
实验5的内容。给定样本dataset和标签labels，给定模型结构G，给定模型参数P，求对应样本分类的正确率。实现时需记住：有多少个类别，相当于计算了多少个模型，计算哪个模型下产生该样本的概率大，就将该样本分类为对应的类别。
I = GaussianMutualInformation(X, Y):
输入的矩阵X大小为N*D1,表示N个样本，每个样本D1维;矩阵Y大小为N*D2,同样表示N个样本，每个样本D2维。这两个矩阵X和Y的每一维样本都服从高斯分布。该函数是计算两个多维高斯分布样本的互信息(互信息是个标量，如果2个矩阵相同，则互信息为0)，计算公式如下：
adj = MaxSpanningTree (weights):
weights为N*N大小的对称矩阵，weights(I,j)的值表示节点i和节点j之间的权重。返回的adj也是一个N*N大小的矩阵，但不是对称矩阵。adj(I,j)=1表示有从节点i指向节点j的边。该函数的功能就是从权值矩阵中学出tree的结构，并输出。
[A W] = LearnGraphStructure(dataset):
实验6的内容。该函数是从样本矩阵dataset(没有使用标签信息)中学习模型的权值矩阵W和模型的树形结构矩阵A.其中每条边的权值计算公式如下：
该公式第一个等号的推导过程可参考Daphne Koller，Probabilistic Graphical Models Principles and Techniques书籍第18章的18.4小节。它的物理意义是：在i和j之间加入边前后得分score的变化量，如果为正，则表示加入该边后score增加，且说明该结构有利，score增加越大，结构就越有利。第二个等号的推导可参考coursera课程：Probabilistic Graphical Models 在structure learning课件中的第7页，等号成立是在likelihood score前提下。
G = ConvertAtoG(A):
该函数是将max spanning tree A转换为图的结构矩阵G,G的含义与前面的一样。
[P G loglikelihood] = LearnGraphAndCPDs(dataset, labels):
实验7的内容。该函数实现的是使用dataset学习模型的结构，然后结合labels来学习模型的参数，最后利用该参数来计算样本的log似然。
相关理论知识点：
这部分可参考Corsera中的课件以及网友demonstrate的blog:PGM 读书笔记节选（十五）
Structure learning的好处有：可发现数据中的相关信息;当专业领域的知识不完善而建立不起完全正确的graph model时可采用。structure learning常见的有2种：constraint-based structure learning和score-based structure learning，BNs结构学习中一般采用后面那种比较多，即在预设的几个结构中找出得分最高的那个(通过 搜索)。
Likelihood Score:指的是给定模型结构G和数据D，求出最优的参数，然后求出在G和该参数下对数据D的log似然值。其表达式如下：
式中第一个求和表示子节点与父节点之间的互信息，第2个求和为节点的熵，关于互信息计算公式如下：
互信息的值>=0，且当变量x和y相互独立时互信息为0,但通常情况下即使x和y是从相互独立中的分布采用得来的，其互信息也大于0。
Likelihood score容易overfitting，为了减少overfitting可采用BIC score(BIC:Bayesian Information Criterion)，公式为：
该score对模型中相互独立参数的个数进行了限制，能够平衡模型对数据的拟合度和模型的复杂度。BIC score具有渐进一致性(consistency),因为随着样本的增多，它能够收敛到与true graph的I-equivalent网络上，并且score也越来越大。
Bayesian score是利用所有参数的加权平均，其表达式如下：
第一项叫Marginal Likelihood，包含了参数的先验知识在里面，要求是能够分解。第二项叫结构先验，它对边的数目，参数的个数进行惩罚，即对模型的复杂度进行了惩罚。在Bayesian score 中，有唯一一个导致 consistency 的参数先验BDe prior,所以一般情况下选择BDe prior. BIC score是Bayeisan score的一种近似。
在拥有score函数以及一些候选网络结构后，需要用搜索算法来寻找最优网络结构。一般可采用候选网络结构为tree(由tree构成forest), 因为tree能够很好的被优化，且拥有稀疏参数，泛化能力较强。另外tree中每个节点顶多有1个父节点，所以我们可以对它进行分解来计算score值：先将有父节点和无父节点的节点分开，然后根据边的权值公式在网络加入边直到score不再增加，或者出现环时停止。最后采用max-weight spanning trees(MST)搜索算法找出权值大的那些边。
对于Likelihood score来说，边的权值非负，对于BIC score和Bayesian score来说，边的权值可以为负数(因为score函数对边数有惩罚，相当于边权值为负)。
实际中很多网络并不是tree结构，也就是说可以有多个父节点，更复杂。有理论证明，如果父节点个数>1，则搜索得分最高的网络的过程是NP-hard的。此时一般采用启发式搜索，以greedy爬山法为例：给定一个初始的网络结构(可以是空的，随机的，或是学习出来的tree，亦或是先验设计的)，在该网络基础上采用添加、删除、反向等操作逐步选择得分最高的那个操作，依次迭代直到score不再变。虽然边的反向操作可以由删除和添加2个步骤构成，但是由于在局部最优点附近采用greedy的方法时，删除边会导致score降低(意味着不会采用该操作)，这样就实现不了边的反向了，因此需要引入Edge Reversal操作。
Naive Computational Analysis: 每一步edge的添加、删除、反向的时间复杂度为O(n^2);如果网络中有n个component，且计算每个component的充分统计量需O(M)时间;另外环检测(Acyclicity check)时间和边数m成正比，为O(m); 则结构搜索中的每一步代价为O(n^2*(Mn+m)).
错误提示：
matlab2013b+ubuntu13.10下矩阵运算出现如下错误：
BLAS loading error: dlopen: cannot load any more object matlab.
网上查了下有不少人碰见过，我这里是重启下matlab解决的。
参考资料：
网友实验code.
coursera课程：Probabilistic Graphical Models
PGM练习七：CRF中参数的学习
网友demonstrate的blog:PGM 读书笔记节选（十五）
Daphne Koller，Probabilistic Graphical Models Principles and Techniques书籍第18章