傅里叶变换公式整理
1、一维傅里叶变换
1.1 一维连续傅里叶变换
- 正变换：
F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ⋅ e − i ω t d t F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cdot e^{-i\omega t}dt F(ω)=∫−∞∞f(t)⋅e−iωtdt
- 逆变换：
f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) ⋅ e i ω t d ω f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\cdot e^{i\omega t}d\omega f(t)=∫−∞∞F(ω)⋅eiωtdω
1.2 一维离散傅里叶变换
- 正变换：
F ( u ) = ∑ x = 0 N − 1 f ( x ) ⋅ e − i 2 π N x u u = 0 , 1 , 2 , . . . , N − 1 F(u) = \sum_{x=0}^{N-1}f(x)\cdot e^{-i\frac{2\pi}{N}xu} \\ u = 0,1,2, ... , N-1 F(u)=x=0∑N−1f(x)⋅e−iN2πxuu=0,1,2,...,N−1
- 逆变换：
f ( x ) = 1 N ∑ u = 0 N − 1 F ( u ) ⋅ e i 2 π N x u x = 0 , 1 , 2 , . . . , N − 1 f(x) = \frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\cdot e^{i\frac{2\pi}{N}xu}\\x = 0,1,2, ... , N-1 f(x)=N1u=0∑N−1F(u)⋅eiN2πxux=0,1,2,...,N−1
2、二维傅里叶变换
2.1 二维连续傅里叶变换
-
正变换
F ( u , v ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) e − j 2 π ( u x + v y ) d x d y F(u,v)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy F(u,v)=∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)e−j2π(ux+vy)dxdy -
逆变换
f ( x , y ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ F ( u , v ) e j 2 π ( u x + v y ) d u d v f(x,y)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(u,v)e^{j2\pi(ux+vy)}dudv f(x,y)=∫−∞∞∫−∞∞F(u,v)ej2π(ux+vy)dudv
2.2 二维离散傅里叶变换
令f(x,y)表示一幅大小为MXN像素的数字图像，其中,x=0,1,2,…,M-1, y=0,1,2,…,N-1,由F(u,v)表示的f(x,y)的二维离散傅里叶变换(DFT)由下式给出：
F ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − j 2 π ( u x M + v y N ) u , v = 0 , 1 , 2 , . . . , N − 1 F(u,v) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}\\u,v = 0, 1, 2, ... , N-1 F(u,v)=x=0∑M−1y=0∑N−1f(x,y)e−j2π(Mux+Nvy)u,v=0,1,2,...,N−1
式子当中，u也是属于0到M-1,v属于0到N-1。频率域就是属于u,v作为频率变量，由F(u,v)构成的坐标系，这块MXN的区域我们通常称为频率矩形，很明显频率矩形的大小和输入图像的大小相同。
有傅里叶变换，当然就有傅里叶反变换(IDFT):
f ( x , y ) = 1 M N ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 F ( u , v ) e j 2 π ( u x M + v y N ) x , y = 0 , 1 , 2 , . . . , N − 1 f(x,y) = \frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}\\ x,y = 0, 1, 2, ... , N-1 f(x,y)=MN1u=0∑M−1v=0∑N−1F(u,v)ej2π(Mux+Nvy)x,y=0,1,2,...,N−1
clc,clear;
a = [1 2 3 5 5 ; 4 7 9 5 4;1 4 6 7 5;5 4 3 7 1;8 7 5 1 3];%a矩阵取5*5
b = [1 5 4; 3 6 8; 1 5 7]; %b矩阵如多数模板一样取3*3
c = conv2(a,b)
d = conv2(a,b,'same')
a(7,7) = 0;
b(7,7) = 0;
e = ifft2(fft2(a).*fft2(b)) % .* 对应元素相乘
%
c =
1 7 17 28 42 45 20
7 39 89 127 134 110 56
14 61 151 212 229 177 87
12 74 165 226 245 174 72
24 98 178 190 179 155 55
29 98 179 139 112 80 31
8 47 96 75 43 22 21
%
%
d =
39 89 127 134 110
61 151 212 229 177
74 165 226 245 174
98 178 190 179 155
98 179 139 112 80
%
%
e =
1.0000 7.0000 17.0000 28.0000 42.0000 45.0000 20.0000
7.0000 39.0000 89.0000 127.0000 134.0000 110.0000 56.0000
14.0000 61.0000 151.0000 212.0000 229.0000 177.0000 87.0000
12.0000 74.0000 165.0000 226.0000 245.0000 174.0000 72.0000
24.0000 98.0000 178.0000 190.0000 179.0000 155.0000 55.0000
29.0000 98.0000 179.0000 139.0000 112.0000 80.0000 31.0000
8.0000 47.0000 96.0000 75.0000 43.0000 22.0000 21.0000
%