遗传算法求解函数优化问题-基本遗传算法SGA
博客内图片文字来源于书本《遗传算法及其应用》
1.算法介绍
《遗传算法及其应用》是在阅读GA过程中较好的一本算法基础方法介绍的书，想要从零开始详细的进行学习的同学们，这是很好的参考工具。
关于遗传算法，《遗传算法及其应用》一书给出了最为详尽的描述，书中也针对不同问题给出了基础的方法，例如组合优化问题中的函数优化、背包问题、货郎担问题和图论等等。
2.实例介绍
在上述内容的基础上，使用C++对函数优化问题进行求解，便于了解GA算法。这里使用的函数优化问题是无约束问题。
函数案例为：
min Z
Z=(1.5-x_1+x_1*x_2)^2+(2.25-x_1+x_1*(x_2)^2)^2+(2.625-x_1+x_1*(x_2)^3)^2
x->[-4.5,4.5]
最优解：Z(3,0.5)=0
2.1 编码
在示例函数当中，变量x_1和x_2均属于区间[-4.5,4.5]。使用二进制无符号整数进行编码，将变量约束空间映射到遗传空间。
为了更详细的表示遗传空间，以下使用8位二进制对变量进行编码，则编码空间整体位16位，其中前8位表示x_1的编码，其余表示x_2。
当然，这里使用5位编码也是可以的，只要能够包含约束区域即可。
2.2 解码
在2.1当中对变量进行了编码，这种编码从0000 0000开始，到1111 1111结束。
一般情况下0000 0000表示数值0，0000 00001表示数值1，以此类推。显然，无法将编码与约束进行一一对应。那么约束空间的负数和小数空间该如何进行表示呢？
假设约束空间的上限为b，下限为a，编码长度l，二进制编码转化为十进制值为x_t，实际值为x，则有：
x=a+(x_t *(b-a))/(2^l -1)
使用该方法对编码进行解码。解码方法如下：
void Decode(int X[person_number][node],int pers) {
int X_temp = 0;
for (int i = 0; i < 8; i++) {
X_temp += X[pers][i] * pow(2, 8 - 1 - i);
}
x_code[pers][0] = XMIN + XMIN + (X_temp*(XMAX - XMIN)) / (pow(2, 8) - 1);
X_temp = 0;
for (int i = 8; i < 16; i++) {
X_temp += X[pers][i] * pow(2, 16 - 1 - i);
}
x_code[pers][1] = XMIN + (X_temp*(XMAX - XMIN)) / (pow(2, 8) - 1);
}
为什么编码后，还需要进行解码呢？原因是将二进制码串转化为约束空间内的十进制值，便于适应度函数进行计算。
2.3 产生初始群体
对于初始群体，只需要使用rand()函数生成对应的0或1即可。
初始群体为：
void initial() {
srand((unsigned int)time(NULL));
for (int i = 0; i < person_number;i++) {
for (int j = 0; j < node;j++) {
X_code[i][j] = (rand() % (1 + 1));
}
}
}
2.4 轮盘赌选择
假设群体的适应性由一个转轮代表。
每一个染色体指定转轮中一个区域。区域的大小与该染色体的适应性分数成正比，适应性分数越高，它在转轮中对应的区域面积也越大。
为了选取一个染色体，要做的就是旋转这个轮子，当转轮停止时，指针停止在哪一区域上，就选中与它对应的那个染色体。
在这里，假设个体适应值为f_i；则个体的选择概率是f_i/sum(f_i)，概率越大，被选择的可能就越大，然后计算累积概率。
工作时，使用rand()函数生成0-1之间的小数，查看小数落在哪一累积概率区间，则选择该个体。
具体工作过程如下：
void Roulette() {
double fit_sum = 0;//适应值之和
for (int i = 0; i < person_number; i++) {
fit_temp[i] = Fitness(x_code, i);
fit_sum += fit_temp[i];
}
//注意:目标函数是取最小值，那么适应值越小，选择的概率越高
double fit_temp1[person_number];
double fit_sum1 = 0;//修改适应值之和
for (int i = 0; i < person_number; i++) {
fit_temp1[i]=fit_sum - fit_temp[i];//调整适应值为（和-适应值）
fit_sum1 += fit_temp1[i];
}
/*cout << "适应值：" << endl;
for (int i = 0; i < person_number; i++) {
cout<< fit_temp[i]<<" ";
}
cout << endl << "适应值和：" << fit_sum1 << endl;*/
for (int i = 0; i < person_number; i++) {
pro_select[i] = (int((fit_temp1[i] / fit_sum1)*1000000))/1000000.0;
}
pro_cumul[0] = pro_select[0];
for (int i = 1; i < person_number; i++) {
pro_cumul[i] = pro_cumul[i-1]+pro_select[i];
}
pro_cumul[person_number-1] = 1.0;
}
2.5 选择
选择操作的本质为优胜略汰，选择原则是轮盘赌方法，选择的目的是将个体两两配对，放入交配池中，等待交配生成子代。
选择操作为：
void Selection() {
Roulette();//确定选择概率
for (int i = 0; i < person_number;i++) {
for (int j = 0; j < dimension;j++) {
per_cross[i][j] = -1;//初始化配对数组->满足交叉和变异的个体
}
}
//除了复制个体以外，两两配对：产生随机数->确定标号
//两两配对
srand((unsigned int)time(NULL));
for (int i = 0; i < person_number/2;i++) {
for (int j = 0; j < 2;j++) {
double temp = (rand() % (10000 + 1)) / 10000.0;
//查询下标
if (temp <= pro_cumul[0]) {
per_cross[i][j] = 0;
}
else {
for (int k = 0; k < person_number - 1; k++) {
if (temp > pro_cumul[k]) {
if (temp <= pro_cumul[k + 1]) {
per_cross[i][j] = k + 1;
break;
}
}
}
}
}
}
/*cout << "交配池：" << endl;
for (int i = 0; i < person_number / 2; i++) {
for (int j = 0; j < 2; j++) {
cout << per_cross[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;*/
}
2.6 复制
复制的目的是保留最佳个体基因，将其保留到子代，有利于减少迭代次数。
复制操作为：
void Copy(double fit_temp[person_number]) {
//确定复制个体
double fit_temp1[person_number];//临时适应值数组
for (int i = 0; i < person_number; i++) {
fit_temp1[i] = fit_temp[i];
}
//适应值排序->由小到大
int fit_index[person_number];//适应值编号
for (int i = 0; i < person_number; i++) {
fit_index[i] = i;
}
for (int i = 1; i < person_number; i++) {
for (int j = 0; j < person_number - i; j++) {
if (fit_temp1[j + 1] < fit_temp1[j]) {
double temp1 = fit_temp1[j];
int temp2 = fit_index[j];
fit_temp1[j] = fit_temp1[j + 1];
fit_index[j] = fit_index[j + 1];
fit_temp1[j + 1] = temp1;
fit_index[j + 1] = temp2;
}
}
}
//确定复制个体->与目标函数有关，这里复制最小的个体
per_copy[0] = fit_index[0];
fitness_temp = fit_temp1[0];
//cout << endl << "适应值："<< fit_temp1[0]<<" "<<"最佳个体基因：" << per_copy[0] << endl;
}
2.7 交叉
交叉是GA算法的重要操作。
在这里，使用二点交叉方法。二点交叉为：
若交配个体中含有最佳个体，则最佳个体直接复制到子代；交配对象的子代由最佳个体的交换部分加上自身未交换部分。
交叉操作为：
void Cross() {//二点交叉方法
//若复制个体与其他进行交叉，则复制为下一代，同时交叉一次（两种交叉结果中保留复制个体为主的子代）
//复制-》确定交叉点-》交叉
Copy(fit_temp);//确定复制个体
int X_code_tem[person_number][node];//临时二进制编码值
for (int i = 0; i < person_number;i++) {
for (int j = 0; j < node;j++) {
X_code_tem[i][j] = X_code[i][j];
}
}
srand((unsigned int)time(NULL));
int count = 0;//计数
for (int i = 0; i < person_number / 2;i++) {
double r1 = (rand() % (100 + 1)) / 100.0;
//cout <
int temp[node];//中转
for (int j = 0; j < node; j++) {
temp[j] = 0;
}
int X_code_tem1[2][node];
for (int m = 0; m < 2; m++) {
for (int n = 0; n < node; n++) {
X_code_tem1[m][n] = 0;
}
}
//cout << endl << "配对基因:"<
if (r1 < pc) {//可以进行交叉
//确定交叉点
int cross_section[2];//存放交叉点->小号在前
cross_section[0] = rand() % (15 + 1);
cross_section[1] = rand() % (15 + 1);
if ((cross_section[0] == cross_section[1]) && (cross_section[0] == 0))
cross_section[1] += 1;
if ((cross_section[0] == cross_section[1]) && (cross_section[0] == 15))
cross_section[1] -= 1;
if (cross_section[0] > cross_section[1]) {
swap(cross_section[0], cross_section[1]);
}
//cout << endl << "交叉点：" << cross_section[0]<<" "<< cross_section[1] << endl;
//有最佳基因
if ((per_cross[i][0]==per_copy[0])&&(per_cross[i][1]!=per_copy[0])) {//有其中一个
for (int j = 0; j < node; j++) {
X_code_tem1[0][j] = X_code_tem[per_cross[i][0]][j];
X_code_tem1[1][j] = X_code_tem[per_cross[i][1]][j];
}
/*cout << endl;
for (int k = 0; k < 2; k++) {
for (int j = 0; j < node; j++) {
cout << X_code_tem1[k][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;*/
for (int j = cross_section[0]; j < cross_section[1] + 1; j++) {
X_code_tem1[1][j] = X_code_tem1[0][j];
}
for (int j = 0; j < node; j++) {
X_code[count][j] = X_code_tem1[0][j];
}
count++;
for (int j = 0; j < node; j++) {
X_code[count][j] = X_code_tem1[1][j];
}
count++;
}
else if ((per_cross[i][1] == per_copy[0]) && (per_cross[i][0] != per_copy[0])) {//有其中一个
for (int j = 0; j < node; j++) {
X_code_tem1[0][j] = X_code_tem[per_cross[i][0]][j];
X_code_tem1[1][j] = X_code_tem[per_cross[i][1]][j];
}
/*cout << endl;
for (int k = 0; k < 2; k++) {
for (int j = 0; j < node; j++) {
cout << X_code_tem1[k][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;*/
for (int j = cross_section[0]; j < cross_section[1] + 1; j++) {
X_code_tem1[0][j] = X_code_tem1[1][j];
}
for (int j = 0; j < node; j++) {
X_code[count][j] = X_code_tem1[0][j];
}
count++;
for (int j = 0; j < node; j++) {
X_code[count][j] = X_code_tem1[1][j];
}
count++;
}
else {//没有最佳基因
for (int j = 0; j < node; j++) {
X_code_tem1[0][j] = X_code_tem[per_cross[i][0]][j];
X_code_tem1[1][j] = X_code_tem[per_cross[i][1]][j];
}
/*cout << endl;
for (int k = 0; k < 2; k++) {
for (int j = 0; j < node; j++) {
cout << X_code_tem1[k][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;*/
for (int j = cross_section[0]; j < cross_section[1] + 1; j++) {
temp[j] = X_code_tem1[0][j];
}
for (int j = cross_section[0]; j < cross_section[1] + 1; j++) {
X_code_tem1[0][j] = X_code_tem1[1][j];
}
for (int j = cross_section[0]; j < cross_section[1] + 1; j++) {
X_code_tem1[1][j] = temp[j];
}
for (int j = 0; j < node; j++) {
X_code[count][j] = X_code_tem1[0][j];
}
count++;
for (int j = 0; j < node; j++) {
X_code[count][j] = X_code_tem1[1][j];
}
count++;
}
}
else {//不交叉，直接复制
for (int j = 0; j < node; j++) {
X_code_tem1[0][j] = X_code_tem[per_cross[i][0]][j];
X_code_tem1[1][j] = X_code_tem[per_cross[i][1]][j];
}
/*cout << endl;
for (int k = 0; k < 2; k++) {
for (int j = 0; j < node; j++) {
cout << X_code_tem1[k][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;*/
for (int j = 0; j < node; j++) {
X_code[count][j] = X_code_tem1[0][j];
}
count++;
for (int j = 0; j < node; j++) {
X_code[count][j] = X_code_tem1[1][j];
}
count++;
}
}
/*cout << "交叉个体：" << endl;
for (int i = 0; i < person_number; i++) {
for (int j = 0; j < node; j++) {
cout << X_code[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;*/
}
3.约束问题优化
对于带约束的函数优化问题，可以参照PSO算法求解的内容，使用罚函数的方法进行约束处理，转变为无约束问题求解。
此外，遗传算法的高级实现方式以及并行算法，是对求解过程的改进，与SGA方法相比，改进的方法求解速度更快，准确度更高，也能避免局部最优的发生。
以上内容，如有引用不当，将立即修改。
欢迎各位同学进行交流！