从零开始体验数据结构与算法之美（1）- 基础数学知识

2017给自己列了几项任务，其中之一就是重新学习数据结构，从本文开始的一系列文章，都是自己研读《数据结构与算法分析 第二版》的学习心得，其中一定会有偏颇甚至浅陋之处，随时欢迎提出指正，谢谢！

基础数学知识主要用到了指数、对数、级数以及证明方法，内容比较枯燥，我自己写的也很痛苦，但这些知识总归是有用的，在学习数据结构与算法时也是必要的，所以自己还是硬着头皮啃完了。这其中好多公式都是高中的知识（理科），曾经是信手拈来，现在好多公式和定理自己都在纸上推导了半天，有些唏嘘……好了，不废话了，下面上干货，确实很干，干的嘴皮都破了……

用到的网站：数学公式编辑器

一、指数

公式

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5. ​

   
   

二、对数

1.定义

如果X的A次幂为B，则称A为以X为底B的对数
在计算机科学中，如果没有特别声明，则对数一般以2为底

2.定理

1. ​
   

2. ​
   

三、级数

公式

1. ​

   
   

2. ​

   
   

3. ​
   }{2}\approx \frac{N^{2}}{2})

4. ​
   (2N+1)}{6}\approx \frac{N^{3}}{3})

5. ​
   

当k=-1时，此公式不成立。此时我们需要下面的公式，数Hn叫做调和数，这个和叫做调和和。这个近似式中的误差趋向于0.57721566，被称为欧拉常数γ。

四、模运算

定义

如果N整除A-B，那么就说A与B模N同余，记为
)
直观的看，就是说无论A还是B被N去除，所得余数都是相同的。

翻译一下：大家知道，在数学中，A/B被叫做：A被B除，或者B除A。那么N整除A-B就意味着A%N = B%N，例如

)

五、证明方法

1. 归纳法

   由归纳法进行的证明有两个标准部分。第一步是证明基准情形，就是确定定理对于某个（某些）小的值的正确性；这一步几乎总是很简单。接着进行归纳假设。一般来说，它指的是假设定理对直到某个有限数k的所有的情况都是成立的。然后使用这个假设证明定理对下一个值（通常是k+1）也是成立的。至此定理得证（在k是有限的情形下）

   现在我们证明一下级数中的公式4
   (2N+1)}{6}；N\geqslant 1)

   首先对于基准情形，我们容易看到，当N=1时是成立的。然后假设定理对1<= k<=N成立，然后我们来证明该假设成立的情况下，对于N+1也是成立的。我们有

^2)

(2N+1)}{6}+(N+1)^2)

[\frac{N(2N+1)}{6}+(N+1)])

\frac{2N^2+7N+6}{6})

(N+2)(2N+3)}{6})

[(N+1)+1][2(N+1)+1]}{6})

定理得证

1. 反例法

   举出一个反例即可。

2. 反证法

   反证法证明是通过假设定理不成立，然后证明该假设导致某个已知的性质不成立，从而原假设是错误的。

   一个经典的例子是证明存在无穷多个素数。为了证明这个结论，我们假设定理不成立。于是，存在某个最大的素数Pk。令P1,P2,…,Pk是依次排列的所有素数并考虑

   
   

显然，N是比Pk大的数，根据假设N不是素数，因为Pk是最大的素数。可是，P1,P2,…,Pk都不能整除N，因为除得的结果总有余数1。这就产生一个矛盾，因为每一个整数或者是素数，或者是素数的乘积。因此，Pk是最大素数的原假设是不成立的，所以定理成立。