luogu P2398 【GCD SUM】

前置芝士

  • 数论分块,一点点莫比乌斯反演

正文

题目要求

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}gcd(i,j) \]

然后再去重。

可以想到枚举\(n\)以内的\(p\),把对答案的贡献改成\(p\times gcd(i,j)=p\)的数的个数

\[\sum_{p=1}^{n}p\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=p] \]

化简式子

\[\sum_{p=1}^{n}p\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor }\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor }[gcd(i,j)=1] \]

因为\([gcd(i,j)=1]\)只有\(gcd(i,j)=1\)\(1\)的贡献,否则没有,所以可以替换为\(\varepsilon(gcd(i,j))\)

\(\varepsilon(x)\)即为当\(x=1\)时对答案贡献为\(1\),否则为\(0\)

所以现在转化为了

\[\sum_{p=1}^{n}p\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor }\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor }\varepsilon(gcd(i,j)) \]

\(Dirichlet\)卷积得

\(\varepsilon =\mu*1 \Leftrightarrow \varepsilon(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\)

所以原式转化为

\[\sum_{p=1}^{n}p\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor }\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor }\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d) \]

转化一下求和顺序

\[\sum_{p=1}^{n}p\sum_{d=1}{\mu(d)}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor }[d\ |\ i]\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}[d\ | \ j] \]

后面两个即为求\(\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor\)\(d\)的倍数,易知其答案为\(\left \lfloor \frac{n}{pd} \right \rfloor\)

所以答案转化为

\[ans=\sum_{p=1}^{n}p\sum_{d=1}\mu(d)\left \lfloor \frac{n}{pd} \right \rfloor\left \lfloor \frac{n}{pd} \right \rfloor \]

后面那玩意用数论分块和前缀和即可。

\(Code:\)

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define int long long 
inline int read(){
	register int x=0,f=0,ch=getchar();
	while('0'>ch||ch>'9')f^=ch=='-',ch=getchar();
	while('0'<=ch&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int MAX=100005;
int n,tot,p[MAX],f[MAX],mu[MAX];
inline void Gmu(){
	mu[1]=1;tot=0;
	for(register int i=2;i<=n;++i){
		if(!f[i]){
			p[++tot]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(register int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;++j){
			f[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				mu[i*p[j]]=0;
				break;
			}
			mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(register int i=1;i<=n;++i)mu[i]+=mu[i-1]; 
} 
int res,ans;
inline void solve(int n,int p){
	res=0;
	for(register int l=1,r;l<=n;l=r+1){
		r=n/(n/l);
		res+=(mu[r]-mu[l-1])*(n/l)*(n/l);
	}
	ans+=res*p;
}
signed main(){
	n=read();
	Gmu();
	for(register int p=1;p<=n;++p)solve(n/p,p);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

写得有什么问题麻烦私信笔者,谢谢

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