多元线性回归及其算法实现（梯度下降法）

上一篇文章讲述了梯度下降法的数学思想，趁热打铁，这篇博客笔者将使用梯度下降法完成多元线性回归，话不多说，直接开始。

我们假设我们的目标函数是长这样的：

其中的是我们认为对输出产生影响的输入值，而则是我们要求的参数，也就是各个x的权值。需要指出的是，取值为1，也就是式中的第一项代表的是偏置值。是我们根据我们的输入值计算得到的预测输出值。我们如何能找到能使这个预测值最贴近实际值的参数呢？我们引入cost function（代价函数），这里使用mse：

这个式子中的分别指的是我们的已知的输入数据(矢量，一个对应了)，对应的输出数据，m是数据的条数，则是输入为情况下按照我们假设的目标函数计算得到的预测值。这个式子的含义就是求得预测值与实际值差的平方和后再求其均值，2则是为了求导后得式子更加简洁而引入的，并不影响结果。很显然，代价函数值越小代表我们的预测值与实际值就越接近，代价函数值取得最小时我们所取的参数就是我们要找的最优参数。

接着我们需要创建迭代序列：

式中的决定了我们的迭代步长，也就是学习率。这个式子要求我们要对代价函数中的每个参数都求偏导，得到下一次我们应该取的参数，这样迭代下去，代价函数会逐渐减小逼近局部极小值或者全局最小值，我们需要给这个迭代序列设置一个迭代次数，以免出现一直迭代的情况。

接下来我们按照代价函数求出对各的偏导，并代入上式：

这样我们就得到了每个参数的迭代方程。到此理论分析结束，笔者将python实现代码贴出，供交流学习。

本次用到的训练集是广告收入场景：当我们已知广告投入（一共三种渠道，分别是TV,radio，newspaper）的情况下，预测销售量。

数据文件格式如图：

import numpy as np
import pandas as pd
# 读入数据 
data = pd.read_csv('D:/Advertising.csv')
# 学习率alpha
lr = 0.00001
# 参数
theta0 = 0
theta1 = 0
theta2 = 0
theta3 = 0

# 最大迭代次数
epochs = 1000

#假设目标函数
def h_predict(theta0, theta1, theta2, theta3, x_data, i):
    h_pre=(theta0 + theta1 * x_data.iloc[i,0] + theta2*x_data.iloc[i,1] + theta3*x_data.iloc[i,2])
    return h_pre

# 最小二乘法
def compute_error(theta0, theta1, theta2, theta3, x_data, y_data):
    totalError = 0
    for i in range(0, len(x_data)):
        totalError += (h_predict(theta0, theta1, theta2, theta3, x_data, i)-y_data[i]) ** 2
    return totalError / float(len(x_data))

def gradient_descent_runner(x_data, y_data, theta0, theta1, theta2, theta3, lr, epochs):
    # 计算总数据量
    m = float(len(x_data))
    # 循环epochs次
    for i in range(epochs):
        theta0_grad = 0
        theta1_grad = 0
        theta2_grad = 0
        theta3_grad = 0
        # 求偏导
        for j in range(0, len(x_data)):
            theta0_grad += (1/m) * (h_predict(theta0, theta1, theta2, theta3, x_data, j) - y_data.iloc[j])
            theta1_grad += (1/m) * x_data.iloc[j,0] * (h_predict(theta0, theta1, theta2, theta3, x_data, j) - y_data.iloc[j])
            theta2_grad += (1/m) * x_data.iloc[j,1] * (h_predict(theta0, theta1, theta2, theta3, x_data, j) - y_data.iloc[j])
            theta3_grad += (1/m) * x_data.iloc[j,2] * (h_predict(theta0, theta1, theta2, theta3, x_data, j) - y_data.iloc[j])
        # 更新b和k
        theta0 = theta0 - (lr*theta0_grad)
        theta1 = theta1 - (lr*theta1_grad)
        theta2 = theta2 - (lr*theta2_grad)
        theta3 = theta3 - (lr*theta3_grad)
        #print(compute_error(theta0, theta1, theta2, theta3, x_data, y_data))
    return theta0, theta1, theta2 ,theta3

#计算初始时代价函数值
print("Starting theta0 = {0}, theta1 = {1}, theta2 = {2}, theta3 = {3}, error = {4}".
      format(theta0, theta1, theta2, theta3, compute_error(theta0, theta1, theta2, theta3, x_data, y_data)))


print("Running...")


theta0, theta1, theta2, theta3 = gradient_descent_runner(x_data, y_data, theta0, theta1, theta2, theta3, lr, epochs)

#经过epochs次迭代后代价函数值
print("After {0} iterations theta0 = {1}, theta1 = {2}, theta2 = {3}, theta3 = {4}, error = {5}".
      format(epochs, theta0, theta1, theta2, theta3, compute_error(theta0, theta1, theta2, theta3, x_data, y_data)))

运行结果如图：

可以看到error值从最开始的223变成了4，最后我将第一行数据带入验证：

与原数据的22.1几乎一样。

值得一提的是，笔者在写好程序后一度以为自己的公式实现出了问题，因为学习率选取过大，导致步长过大，梯度下降发散，error值不断增大，后来经过仔细分析发现是学习率导致的，在改小后程序就运行正常了。