方向向量转四元数

之前写过一篇方向向量转欧拉角的，相对来说欧拉角还是有一些限制，现在研究下方向向量转四元数公式。

该四元数能够使方向向量从Z轴(0,0,1)旋转至(X,Y,Z)。四元数可以理解为绕某轴(x,y,z)旋转角度w，记为（cos(w/2),sin(w/2)x,sin(w/2)y,sin(w/2)z）。

需要注意的是，对于四元数来说，如果对应的四个值都互为相反数，可以理解为这两个四元数对应的旋转相同。比方说，四元数(a,b,c,d)和四元数(-a,-b,-c,-d)对应的旋转是相同的。

使用unity函数进行转换的代码如下

    public Quaternion CalQuaternion(Vector3 dir)
    {
        Quaternion cal = new Quaternion();
        Vector3 euler = Quaternion.LookRotation(dir).eulerAngles;

        //欧拉角Y: cosY = z/sqrt(x^2+z^2)
        float CosY = dir.z / Mathf.Sqrt(dir.x * dir.x + dir.z * dir.z); 
        float CosYDiv2 = Mathf.Sqrt((CosY + 1) / 2);
        if (dir.x < 0) CosYDiv2 = -CosYDiv2; 

        float SinYDiv2 = Mathf.Sqrt((1-CosY) / 2);

        //欧拉角X: cosX = sqrt((x^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)
        float CosX = Mathf.Sqrt((dir.x * dir.x + dir.z * dir.z) / (dir.x * dir.x + dir.y * dir.y + dir.z * dir.z));
        if (dir.z < 0) CosX = -CosX;
        float CosXDiv2 = Mathf.Sqrt((CosX + 1) / 2);
        if (dir.y > 0) CosXDiv2 = -CosXDiv2;
        float SinXDiv2 = Mathf.Sqrt((1 - CosX) / 2);

        //四元数w = cos(x/2)cos(y/2)
        cal.w = CosXDiv2 * CosYDiv2;
        //四元数x = sin(x/2)cos(y/2)
        cal.x = SinXDiv2 * CosYDiv2;
        //四元数y = cos(x/2)sin(y/2)
        cal.y = CosXDiv2 * SinYDiv2;
        //四元数z = sin(x/2)sin(y/2)
        cal.z = -SinXDiv2 * SinYDiv2;


        CalCosX = CosX;
        CalCosY = CosY;
        RightCosX = Mathf.Cos(Mathf.Deg2Rad * (Quaternion.LookRotation(dir).eulerAngles.x));
        RightCosY = Mathf.Cos(Mathf.Deg2Rad * (Quaternion.LookRotation(dir).eulerAngles.y));
        RightEulers = Quaternion.LookRotation(dir).eulerAngles;

        return cal;
    }

实际还是使用欧拉角转四元数的方式进行的换算，旋转次序还是z，x，y。同时还用到了三角函数转半三角函数的公式。

需要注意的是，由于之前提到的原因，得到的四元数和unity自带的Quaternion.LookRotation(dir)可能是相反的，实际代表的是一种旋转。在计算中需要注意得到的三角函数的正负。