C++之回溯算法解决子集、全排列和组合问题

这篇文章回溯算法团灭子集、排列、组合问题写得很好，在此记录一下自己的理解以及使用LeetCode真题来帮助更好地运用。

先说一句话：回溯算法就类似于多叉树的遍历问题！！！！

作者说回溯算法就是多叉树的遍历问题，我认为其中还有一个区别，那就是遍历问题每个元素只会使用一次，而回溯算法中，每个元素使用多次，这也是为何算法中会有撤销选择这一步了。。

上面这句话猛一看很难理解，接下来咱们慢慢揭开它的神秘面纱！！

一、从二叉树的遍历开始讲起
我之前写过c++之二叉树的递归实现与广义表实现，其中关于二叉树的递归遍历解法，我们可以用以下伪代码进行概括：

void traverse(TreeNode root) {
    // 在此写前序遍历相关操作
    traverse(root.left)
    // 在此写中序遍历相关操作
    traverse(root.right)
    // 在此写后序遍历相关操作
}

实际过程如下：

前序遍历的代码在进入某一个节点之前的那个时间点执行，后序遍历代码在离开某个节点之后的那个时间点执行。

二、引入回溯算法
先来看一个简单的全排列问题，来了解回溯算法
比方说给三个数 [1,2,3]，找出它的所有全排列组合。。
我们的解法：先固定第一位为 1，然后第二位可以是 2，那么第三位只能是 3；然后可以把第二位变成 3，第三位就只能是 2 了；然后就只能变化第一位，变成 2，然后再穷举后两位……
其实这就是回溯算法，我们高中无师自通就会用，或者有的同学直接画出如下这棵回溯树：

我们不妨把这棵树称为回溯算法的「决策树」。
为啥说这是决策树呢，因为你在每个节点上其实都在做决策。比如说你站在上图的红色节点上：
你现在就在做决策，可以选择 1 那条树枝，也可以选择 3 那条树枝。为啥只能在 1 和 3 之中选择呢？因为 2 这个树枝在你身后，这个选择你之前做过了，而全排列是不允许重复使用数字的。

在此，我们可以总结一下回溯算法的基本思想：

result = []
void backtrack(路径, 选择列表):
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)
        return

    for 选择 in 选择列表:
        做选择
        backtrack(路径, 选择列表)
        撤销选择

1、路径：也就是已经做出的选择。
2、选择列表：也就是你当前可以做的选择。
3、结束条件：也就是到达决策树底层，无法再做选择的条件。

其核心就是 for 循环里面的递归，在递归调用之前「做选择」，在递归调用之后「撤销选择」，特别简单

这也就是多叉树（决策树的遍历），因为每个元素要使用多次，所以我们要有撤销选择这一步。这也是与遍历的区别。。

三、解决子集问题
Leetcode78. 子集
给定一组不含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

输入: nums = [1,2,3]
输出: [ [3], [1], [2], [1,2,3], [1,3], [2,3], [1,2], [] ]

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> res;
    void dfs(vector<int>& nums,int start,vector<int>& track)
    {
    //满足结束条件
        res.push_back(track);
        for(int i=start;i<nums.size();i++)
        {
        //做出选择nums[i]，将其放入路径中
            track.push_back(nums[i]);
            //递归，填下一个数
            dfs(nums,i+1,track);
            //撤销选择
            track.pop_back();
        }
        return ;
    }
    vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
        vector<int> track;
        dfs(nums,0,track);
        return res;
    }
};

Leetcode90. 子集 II
给定一个可能包含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

输入: [1,2,2]
输出: [ [2], [1], [1,2,2], [2,2], [1,2], [] ]

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> res;
    void dfs(vector<int>& nums,int start,vector<int>& track)
    {
        res.push_back(track);
        for(int i=start;i<nums.size();i++)
        {
            track.push_back(nums[i]);
            dfs(nums,i+1,track);
            track.pop_back();
        }
        return ;
    }
    vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {
        vector<int> track;
        //注意这一步，不然有可能得出混乱的结果
        sort(nums.begin(),nums.end());
        //先解设元素都不相同
        dfs(nums,0,track);
		//删除重复的结果
        sort(res.begin(),res.end());
        res.erase(unique(res.begin(),res.end()),res.end());

        return res;
    }
};

四、解决全排列问题
Leetcode46. 全排列
给定一个 没有重复 数字的序列，返回其所有可能的全排列。

输入: [1,2,3]
输出:
[
[1,2,3],
[1,3,2],
[2,1,3],
[2,3,1],
[3,1,2],
[3,2,1]
]

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> res;
    void dfs(vector<int> &nums,vector<int> track)
    {
    //满足结束条件时
        if(track.size()==nums.size()) 
        {
            res.emplace_back(track);
        }
        for(int i=0;i<nums.size();i++)
        {
        //确保已经选择的路径不包含nums[i],避免元素重复选择
            bool contain=false;
            for(auto &x:track)
            {
                if(x==nums[i])
                {
                    contain=true;
                    break;
                }
            }
            if(!contain)
            {
            track.emplace_back(nums[i]);
            dfs(nums,track);
            track.pop_back();
            }
        }
        return;
    }

    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        vector<int> track;
        dfs(nums,track);
        return res;
    }
};

另一种官方解法（直接调整nums元素位置）：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> res;
    void dfs(vector<int> &nums,int begin,int end)
    {
        if(begin==end) res.emplace_back(nums);
        for(int i=begin;i<=end;i++)
        {
            swap(nums[i],nums[begin]);
            dfs(nums,begin+1,end);
            swap(nums[i],nums[begin]);
        }
        return;
    }
    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        dfs(nums,0,nums.size()-1);
        return res;
    }
};

Leetcode47. 全排列 II
给定一个可包含重复数字的序列，返回所有不重复的全排列。

输入: [1,1,2]
输出:
[
[1,1,2],
[1,2,1],
[2,1,1]
]

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    void dfs(vector<int>& nums,int begin,int end)
    {
        if(begin==end) result.emplace_back(nums);

        for(int i=begin;i<=end;i++)
        {
            swap(nums[i],nums[begin]);
            dfs(nums,begin+1,end);
            swap(nums[i],nums[begin]);
        }
        return;
    }
public:
    vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {
        //this->nums=nums;
        dfs(nums,0,nums.size()-1);

        sort(result.begin(),result.end());
        result.erase(unique(result.begin(),result.end()),result.end());
        return result;
    }
};

五、解决组合问题
Leetcode77. 组合
给定两个整数 n 和 k，返回 1 … n 中所有可能的 k 个数的组合。

输入: n = 4, k = 2
输出:
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> res;
    void dfs(int n,int k,int start,vector<int> track)
    {
        if(track.size()==k) res.push_back(track);
        for(int i=start;i<=n;i++)
        {
            track.push_back(i);
            dfs(n,k,i+1,track);
            track.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        if(k<=0 || n<=0) return res;
        vector<int> track;
        dfs(n,k,1,track);
        return res;
    }
};

看到这道题，再补充一题：
从n个不同的数中，找到每k（k

#include
#include
using namespace std;

	vector<vector<int>> res;
	void dfs(vector<int> nums, int k, int start, vector<int> track)
	{
		if (track.size() == k) res.push_back(track);
		for (int i = start; i < nums.size(); i++)
		{
			track.push_back(nums[i]);
			dfs(nums, k, i + 1, track);
			track.pop_back();
		}
	}
	vector<vector<int>> combine(vector<int> nums, int k) {
		if (k <= 0 || nums.size()== 0) return res;
		vector<int> track;
		dfs(nums, k, 0, track);
		return res;
	}
int main()
{
	int n, k,m;
	cin >> n >> k;
	vector<int> nums;
	while (n--)
	{
		cin >> m;
		nums.push_back(m);
	}
	res = combine(nums, k);
	for (auto x : res)
	{
		for (auto y : x)
		{
			cout << y << " ";
		}
		cout << endl;
	}

	system("pause");
	return 0;
}

Leetcode39. 组合总和
给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
candidates 中的数字可以无限制重复被选取。

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> res;
    vector<int> candidates;
    vector<int> path;
public:
void DFS(int start,int target)
{
    if(target==0)
    {
        res.push_back(path);
        return;
    }
    for(int i=start;i<candidates.size() && target-candidates[i]>=0;i++)
    {
        path.push_back(candidates[i]);
        //因为是无限制选取，所以下一个选择从i开始
        DFS(i,target-candidates[i]);
        path.pop_back();
    }
}
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        sort(candidates.begin(),candidates.end());
        this->candidates = candidates;
        DFS(0,target);
        return res;
    }
};

Leetcode40. 组合总和 II
给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> res;
    vector<int> nums;
    vector<int> track;

    void dfs(int start,int target)
    {
        if(target==0) res.push_back(track);

        for(int i=start;i<nums.size() && target-nums[i]>=0;i++)
        {
            track.push_back(nums[i]);
            //只能使用一次，下一次选择从i+1开始
            dfs(i+1,target-nums[i]);
            track.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
        sort(candidates.begin(),candidates.end());
        this->nums=candidates;
        dfs(0,target);
        sort(res.begin(),res.end());
        res.erase(unique(res.begin(),res.end()),res.end());

        return res;
    }
};

Leetcode216. 组合总和 III
找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> res;
    void dfs(int k,int n,int start,vector<int> track)
    {
        if(track.size()==k && n==0) res.push_back(track);
        for(int i=start;i<=9 && n-i>=0;i++)
        {
            track.push_back(i);
            dfs(k,n-i,i+1,track);
            track.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        vector<int> track;
        dfs(k,n,1,track);
        return res;
    }
};

Leetcode377. 组合总和 Ⅳ
给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。

这是一个动态规划题，且属于第三种情况，即有次序的完全背包问题。详情可见我之前写的一篇文章c++之背包问题循环使用技巧

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<unsigned long long> dp(target+1,0);
        dp[0]=1;

        for(int i=0;i<=target;i++)
        {
            for(auto x:nums)
            {
                if(i-x>=0) dp[i]+=dp[i-x];
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

附加题：
Leetcode22. 括号生成
数字 n 代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且 有效的 括号组合

class Solution {
	vector<string> result;
public:
	vector<string> generateParenthesis(int n) {
		if (n == 0) return result;
		dfs( "", n, 0);
		return result;
	}
	/*n表示左括号可以使用的个数，index表示右括号可以使用的个数
	要满足左括号的可以使用的个数要小于右括号可以使用的个数*/
	void dfs(string track, int n, int index)
	{

		/*可以使用的左右括号为0时，表示生成一个有效的括号组合*/
		if (n == 0 && index == 0) result.push_back(track);

		/*每使用一个左括号，就要对应生成一个需要使用的右括号*/
		if (n > 0) dfs(track + '(', n - 1, index + 1);
		/*可以使用的右括号数大于0，则用来完成左括号的匹配*/
		if (index > 0) dfs(track + ')', n, index - 1);
	}
};