使用python求解混合整数规划问题
摘要：当前使用Python求解混合整数规划问题的实例大多使用了cplex库。本文基于教材上的混合整数规划和0-1整数规划两道例题，尝试使用Python语言予以解决，得到的答案与教材上一致。现将有关求解过程及代码附上，以期对运筹学初学者有所裨益。
关键词：整数规划； 0-1规划； cplex；Python
0.例题
目标函数：
M a x z = 3 x 1 + x 2 + 3 x + 3 \ Max \ z=3x_1+x_2+3x+3 Max z=3x1+x2+3x+3
约束条件： { − x 1 + 2 x 2 + x 3 ≤ 4 4 x 2 − 3 x 3 ≤ 2 x 1 − 3 x 2 + 2 x 3 ≤ 3 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 x 1 为 整 数 x 3 为 0 − 1 变 量 \left\{\begin{aligned} -x_1+2x_2+x_3\leq 4 \\ 4x_2-3x_3\leq 2\\ x_1-3x_2+2x_3\leq3\\ x_1,x_2,x_3\geq 0\\ x_1为整数\\ x_3为0-1变量\\ \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−x1+2x2+x3≤44x2−3x3≤2x1−3x2+2x3≤3x1,x2,x3≥0x1为整数x3为0−1变量
1.Python代码
#导入cplex
import cplex
from cplex.exceptions import CplexError
my_obj=[3.0,1.0,3.0]#目标函数系数
my_ctype='ICI'#目标函数变量的类型，一般就是C,整数类型就是I就是integer
my_ub=[cplex.infinity, cplex.infinity,1]#变量的约束条件上限
my_lb=[0,0,0]#变量的约束条件下限
my_colnames=['x1','x2','x3']#column names列向量的名字
my_rhs=[4.0,2.0,3.0]#约束条件的值相当于b
my_rownames=['r1','r2','r3']#row names行向量的名字
#是约束条件的形式，L为小于号“less-than”,大于号是‘G’，即'greater than'
my_sense='LLL'
def populatebyrow(prob):
#设置目标函数类型：求max or min
prob.objective.set_sense(prob.objective.sense.maximize)
#设置（增加）变量，明确目标函数，约束条件上限、下限，变量类型，还有变量名称
prob.variables.add(obj=my_obj,lb=my_lb,ub=my_ub,types=my_ctype,
names=my_colnames)
#对应的约束方程
rows=[[['x1','x2','x3'],[-1.0,2.0,1.0]],
[['x2','x3'],[4.0,-3.0]],
[['x1','x2','x3'],[1.0,-3.0,2.0]]]
#设置（增加）约束条件
prob.linear_constraints.add(lin_expr=rows, senses=my_sense,
rhs=my_rhs,names=my_rownames)
#初始化模型
my_prob=cplex.Cplex()
#计算
handle=populatebyrow(my_prob)
#求解
my_prob.solve()
#输出结果
print(my_prob.solution.get_objective_value())
x = my_prob.solution.get_values()
print(x)
2.结果
可以看到，求得最优解: z = 16.25 ; x 1 = 4.0 , x 2 = 1.25 , x 3 = 1.0 \ z=16.25; \ x_1=4.0, x_2=1.25, x_3=1.0 z=16.25; x1=4.0,x2=1.25,x3=1.0
3.求解0-1规划问题
（1）例题
某公司计划在市区的东、南、西、北四个区建立销售门市部，拟议有10个位置 A i j ( j = 1 , 2 , . . . , 10 ) \ A_{ij}(j=1,2,...,10) Aij(j=1,2,...,10)可供选择，考虑到各地居民消费水平及居民居住密集度，规定：
（1）在东区由 A 1 , A 2 , A 3 \ A_1,A_2,A_3 A1,A2,A3三个点中至多选择两个；
（2）在西区由 A 4 , A 5 \ A_4,A_5 A4,A5两个点中至少选择一个；
（3）在南区由 A 6 , A 7 \ A_6,A_7 A6,A7两个点中至少选择一个；
（4）在北区由 A 8 , A 9 ， A 10 \ A_8,A_9，A_{10} A8,A9，A10三个点中至少选择两个。
| A 1 \ A_1 A1 | A 2 \ A_2 A2 | A 3 \ A_3 A3 | A 4 \ A_4 A4 | A 5 \ A_5 A5 | A 6 \ A_6 A6 | A 7 \ A_7 A7 | A 8 \ A_8 A8 | A 9 \ A_9 A9 | A 10 \ A_{10} A10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 投资额 | 100 | 120 | 150 | 80 | 70 | 90 | 80 | 140 | 160 | 180 |
| 利润 | 36 | 40 | 50 | 22 | 20 | 30 | 25 | 48 | 58 | 61 |
A j \ A_j Aj各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同而不同，预测情况如上表，但总投资金额不超过720万元，问应该选择哪几个销售点，可使利润最大。
（2）求解
解：设 0 − 1 \ 0-1 0−1变量 x i = 1 ( A i 点 被 选 用 ) \ x_i=1(A_i点被选用) xi=1(Ai点被选用)或 x i = 0 ( A i 点 未 被 选 用 ) \ x_i=0(A_i点未被选用) xi=0(Ai点未被选用)，建立数学模型如下：
目标函数：
M a x z = 36 x 1 + 40 x 2 + 50 x 3 + 22 x 4 + 20 x 5 + 30 x 6 + 25 x 7 + 48 x 8 + 58 x 9 + 61 x 10 \ Max\ z=36x_1+40x_2+50x_3+22x_4+20x_5+30x_6+25x_7+48x_8+58x_9+61x_{10} Max z=36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10
约束条件： { 100 x 1 + 120 x 2 + . . . + 160 x 9 + 180 x 10 ≤ 720 x 1 + x 2 + x 3 ≤ 2 x 4 + x 5 ≥ 1 x 6 + x 7 ≥ 1 x 8 + x 9 + x 10 ≥ 2 1 ≥ x i ≥ 0 , i = 1 , 2 , . . . , 10 x i 为 0 − 1 变 量 , i = 1 , 2 , . . . , 10 \left\{\begin{aligned} 100x_1+120x_2+...+160x_9+180x_{10} \leq 720 \\ x_1+x_2+x_3 \leq 2\\ x_4+x_5 \geq 1\\ x_6+x_7 \geq 1\\ x_8+x_9+x_{10} \geq 2\\ 1 \geq x_i \geq 0, i=1,2,...,10\\ x_i为0-1变量,i=1,2,...,10\\ \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧100x1+120x2+...+160x9+180x10≤720x1+x2+x3≤2x4+x5≥1x6+x7≥1x8+x9+x10≥21≥xi≥0,i=1,2,...,10xi为0−1变量,i=1,2,...,10
(3)代码
import cplex
from cplex.exceptions import CplexError
my_obj=[36.,40.,50.,22.,20.,30.,25.,48.,58.,61.]
my_ctype='IIIIIIIIII'
my_ub=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]
my_lb=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]
my_colnames=['x1','x2','x3','x4','x5','x6','x7','x8','x9','x10']
my_rhs=[720,2,1,1,2]
my_rownames=['r1','r2','r3','r4','r5']
my_sense='LLGGG'
def populatebyrow(prob):
prob.objective.set_sense(prob.objective.sense.maximize)
prob.variables.add(obj=my_obj, lb=my_lb, ub=my_ub,
types=my_ctype, names=my_colnames)
rows=[[['x1','x2','x3','x4','x5','x6','x7','x8','x9','x10'],[100.0,120.0,150.0,80.0,70.0,90.0,80.0,140.0,160.0,180.0]],
[['x1','x2','x3'],[1.0,1.0,1.0]],
[['x4','x5'],[1.,1.]],
[['x6','x7'],[1.,1.]],
[['x8','x9','x10'],[1.,1.,1.]]]
prob.linear_constraints.add(lin_expr=rows, senses=my_sense,
rhs=my_rhs,names=my_rownames)
my_prob=cplex.Cplex()
handle=populatebyrow(my_prob)
my_prob.solve()
print(my_prob.solution.get_objective_value())
x = my_prob.solution.get_values()
print(x)
（4）结果
4.说明
（1）以上两个例题均来自韩伯棠老师主编的《管理运筹学》（第四版）教材中，韩老师授课十分有趣、清楚，是初学运筹学者比较好的入门课程。
（2）网上有很多关于cplex的说明，本人了解不全，很多设置还搞不清楚，请各位批评指正。