密码学-RSA

密码学

密码学是指研究信息加密，破解密码的技术科学。密码学的起源可追溯到2000年前。而当今的密码学是以数学为基础的。

发展历史

密码学的历史大致可以追溯到两千年前，相传古罗马名将凯撒大帝为了防止敌方截获情报，用密码传送情报。凯撒的做法很简单，就是对二十几个罗马字母建立一张对应表。这样，如果不知道密码本，即使截获一段信息也看不懂。
从凯撒大帝时代到上世纪70年代这段很长的时间里，密码学的发展非常的缓慢，因为设计者基本上靠经验。没有运用数学原理。

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-在1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：加密、解密使用同一种算法。在交互数据的时候，彼此通信的双方就必须将规则告诉对方，否则没法解密。那么加密和解密的规则（简称密钥），它保护就显得尤其重要。传递密钥就成为了最大的隐患。这种加密方式被成为对称加密算法（symmetric encryption algorithm）
-1976年，两位美国计算机学家 迪菲（W.Diffie）、赫尔曼（ M.Hellman ） 提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成密钥交换。这被称为“迪菲赫尔曼密钥交换”算法。开创了密码学研究的新方向

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-1977年三位麻省理工学院的数学家 罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起设计了一种算法，可以实现非对称加密。这个算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。

RSA数学原理

上世纪70年代产生的一种加密算法。其加密方式比较特殊，需要两个密钥：公开密钥简称公钥（publickey）和私有密钥简称私钥（privatekey）。公钥加密，私钥解密；私钥加密，公钥解密。这个加密算法就是伟大的RSA

关于互质关系

如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因数，
我们就称这两个数是互质关系（coprime）。

欧拉函数φ

问题:意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？
计算这个值的方式叫做欧拉函数，使用：Φ(n)表示
如:
计算8的欧拉函数，和8互质的 1、3、5、7
φ(8) = 4
计算7的欧拉函数，和7互质的 1、2、3、4、5、6
φ(7) = 6
计算56的欧拉函数
φ(56) = φ(8) * φ(7) = 4 * 6 = 24

欧拉函数特点

一、当n是质数的时候，φ(n)=n-1。
二、如果n可以分解成两个互质的整数之积，如n=AB则：
φ(AB)=φ(A)* φ(B)
根据以上两点得到：
如果N是两个质数P1 和 P2的乘积则
φ(N)=φ(P1)* φ(P2)=(P1-1)*(P2-1)

欧拉定理

如果两个正整数m和n互质，那么m的φ(n)次方减去1，可以被n整除。

[图片上传中...(6.png-cad4e1-1544081162620-0)]

费马小定理

欧拉定理的特殊情况：如果两个正整数m和n互质，而且n为质数！那么φ(n)结果就是n-1。

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模反元素

如果两个正整数e和x互质，那么一定可以找到整数d，使得 ed-1 被x整除。
那么d就是e对于x的“模反元素”

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公式转换

欧拉定理:

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由于1^k==1, (m^φ(n) mod n)^k == m^(k φ(n)) mod n == 1，公式转换为

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由于 1m == m,公式转换为

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结合模反元素，得到结果:

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迪菲赫尔曼密钥交换

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迪菲赫尔曼密钥交换原理

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RSA原理

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RSA算法

加密:m^e mod n =c
解密:c^d mod n = m
公钥： n和e
私钥： n和d
明文: m
密文: c
说明：
1、n会非常大，长度一般为1024个二进制位。（目前人类已经分解的最大整数，232个十进制位，768个二进制位）
2、由于需要求出φ(n)，所以根据欧函数特点，最简单的方式n 由两个质数相乘得到: 质数：p1、p2
Φ(n) = (p1 -1) * (p2 - 1)
3、最终由φ(n)得到e 和 d 。
总共生成6个数字：p1、p2、n、φ(n)、e、d

关于RSA安全

除了公钥用到了n和e 其余的4个数字是不公开的。
目前破解RSA得到d的方式如下：
1、要想求出私钥 d 。由于ed = φ(n)k + 1。要知道e和φ(n);
2、e是知道的，但是要得到 φ(n)，必须知道p1 和 p2。
3、由于 n=p1*p2。只有将n因数分解才能算出。

终端演示

Mac的终端可以直接使用OpenSSL进行RSA的命令运行。
由于Mac系统内置OpenSSL(开源加密库),所以我们可以直接在终端上使用命令来玩RSA. OpenSSL中RSA算法常用指令主要有三个：

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生成RSA私钥,密钥长度为1024bit

openssl genrsa -out private.pem 1024

从私钥中提取公钥

openssl rsa -in private.pem -pubout -out public.pem

将私钥转换成为明文

openssl rsa -in private.pem -text -out private.txt

通过公钥加密数据,私钥解密数据

openssl rsautl -encrypt -in message.txt -inkey public.pem -pubin -out enc.txt
openssl rsautl -decrypt -in enc.txt -inkey private.pem -out dec.txt

通过私钥加密数据,公钥解密数据

openssl rsautl -sign -in message.txt -inkey private.pem -out enc.txt
openssl rsautl -verify -in enc.txt -inkey public.pem -pubin -out dec.txt