傅里叶变换（FS、FT、DTFT、DFT、DFS、FFT）、拉普拉斯变换和Z变换

傅里叶变换的目的：时域转为频域，滤波，求解微分方程等

1. FS（Fourier Series）

傅里叶级数：时域周期连续，频域离散。
前提：任何信号都可以看作是无限多的正弦波的叠加。
时域：基本单位是1s
频域：基本单位w(基础是cos(wt))代表“1”；代表“0”的是sin(wt)，是直流分量

注意：频率的单位是w（或者f=w/2Π），是实数，而不是附属jw或者e^jw，

幅度谱：正面看，即时域图像，A.sin(wt+θ)中的A。
频率谱：从侧面看，即频域图像，A.sin(wt+θ)中的w。
相位谱：从下面看，距离频率轴最近的波峰在下面的投影距离为t（此为时间差），t除周期再乘2Pi（或者360°）就是此正弦波对应的相位，即A.sin(wt+θ)中的θ。

2. FT（Fourier Transformation）

连续时间傅里叶变换：时域连续，频域连续。
意义：求一个周期无限大的信号的傅里叶级数，也就是无数个正弦波之和。

3. DTFT（Discrete-time Fourier Transform）

离散时间傅里叶变换：时域离散，频域连续。
过程：时域相乘采样信号（连续变为离散），频域卷积采样信号的频谱（变周期连续）。

4. DFT（Discrete Fourier Transform）

离散傅里叶变换：时域离散，频域离散。
过程：频域相乘采样信号（连续变离散），时域卷积采样信号的频谱（非周期变周期），取         （10）中的主值区间，就是信号x(n)的离散傅里叶变换，即DFT。

DFS（Discrete Fourier Series）：离散傅里叶级数。时域离散周期的DFT，频域离散。

5. FFT（Fast Fourier Transformation）

快速傅里叶变换：DFT和IDFT的快速算法，工程用。

6. 拉普拉斯变换

       拉普拉斯变换是连续时间傅里叶变换（FT）的推广，是其在复平面s上的表示。
       首先解释一下复平面的概念，复数s=a+ib，其中a为实部，b为虚部，其中i 是虚数。对于i，其定义是i^2=-1，那么其实际意义是什么？具体应用是什么呢？其实，i的意义就是：旋转90°，因为i的平方是-1，旋转了180°，那么i就是旋转了90°，具体讲解参考傅里叶分析之掐死教程（完整版）。大神讲解的太详细，解答了我对虚数i十几年的困惑，膜拜！！！

       所以，复数s=s=a+ib，实部是a，虚部的b是a经旋转90°以后的信号，a和b投影在不同的方向有不同的图像，可以清晰进行区分，这也是复平面的意义所在，同一信号，携带不同的可分解的两个信号。
      下面介绍拉普拉斯变换的过程以及意义。

• 连续时间傅里叶变换条件：时域信号必须绝对可积
• 拉普拉斯变换：时域信号x(t)乘负指数（单调减，系数为满足收敛域的任意实数）后满足绝对可积条件，变换条件变得宽松

7. Z变换

       Z变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的推广，是其在极坐标形式的复数上的表示。

• 离散时间傅里叶变换（DTFT）：时域序列x(n)必须绝对可和
• Z变换：时域序列x(n)乘负指数函数（a为满足收敛域的任意实数）后满足绝对可和条件，变换条件变得宽松

8. 系统函数和频响函数

• 当s=a+ib和z=ae^jw是一般复数时,H(s)和H(z)就称为该系统的系统函数
• 对连续信号,具有s=jw形式的系统函数即H(s)=H(jw)就称为该系统的频率响应
• 对离散信号,具有z=e^jw形式的系统函数即H(z)=H(ejw)就称为该系统的频率响应.

9. 参考文献

FS、FT部分参考：傅里叶分析之掐死教程（完整版）
DTFT、DFT、DFS和FFS部分参考：一幅图弄清DFT与DTFT,DFS的关系
拉氏变换、S变换部分参考：傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系是什么？为什么要进行这些变换？
系统函数和频率响应函数部分 系统函数,频率响应定义