傅里叶滤波去噪学习笔记

一、基础知识提要

1. 理解什么是标准正交基
2. 理解为什么周期函数和非周期函数能够使用多个三角函数sin和cos表示
3. 理解什么是频域，什么是时域
4. 知晓欧拉公式，即e^ix = cosx + isinx

    如果对以上知识点不清楚的，又想了解傅里叶变换的用处的话可以听一听李永乐老师的讲解，讲的深入浅出，非常容易理解。https://www.bilibili.com/video/BV1A4411Y7vj

二、图像中傅里叶变换计算公式：

1. 二维傅里叶变换中的正变换计算公式：
   

    该公式可以通过蝶形算法进行优化为快速傅里叶变换，蝶形算法也是matlab中fft的源码使用的方法。算法的推导方式如下：https://wenku.baidu.com/view/5cacb2b8bd64783e09122b9a.html
    如果上述算法难以理解，也可以根据https://www.jianshu.com/p/98f493de01db中矩阵运算分方式加速matlab中的DFT运算，个人感觉它和蝶形算法的本质是相同的。如果有错误希望各位指出并更正，谢谢！

    当然直接使用matlab中的fft2(image);也是可以的，不过理解一个算法会让你更加理解傅里叶变换。

2. 正变换+滤波后如何反变换回去，计算公式如下：
   
   值得注意的是matlab中的索引值是由1开始的，因此Matlab中的F(1,1)，f(1,1)对应于正变换和逆变换中的F(0,0), f(0,0)。

3. 频谱的计算公式
   根据欧拉公式可知，傅里叶变换后会将实数f(x,y)变化为复数，为此，需要计算它的频谱，并将其显示为图像，若变换后R(u,v)和I(u,v)分别表示F(u,v)的实部和虚部，则有：
   
   因为都是正交分解，个人认为其实可以用直角坐标系中的距离来帮助理解。

4. 那么相对应的相位角的定义为:
   

5. 二维傅里叶变换后的周期性与对称性：
   

6. 为什么要对频谱进行对数变换？
       由于傅里叶变换后，频谱的范围会特别的大，使得频谱中低亮度部分被忽略，因此使用对数变换log(1+abs(Fc))，其中Fc是傅里叶变换后的频谱上所表示的振幅，abs则是计算该振幅的模（详细见第3点，频谱的计算公式），这样我们就将频谱压缩到了较小的范围。
   

7. 为什么傅里叶变换后四个角落的振幅远大于中心点？为什么要ffshift进行居中？
       值得注意的是，图像处理中，认为周期是无限的，那么对于一张M*N的图像，其x方向的周期为M，y轴方向的周期为N，那么有如下等式：
       又根据傅里叶变换公式得出F(0，0)等于F(x,y)的平均值的MN倍，这里可以使用二重积分的中值定理进行证明，在此不多加阐述。但由此可以得出结论，即图像上(0,0)的振幅是远高于平均值的，因为图像像素点的特性，M和N均大于等于1，也就意味着点(0,0)的振幅是平均值的MN倍，换言之，原点处的振幅远大于中间区域的振幅，又根据上面的周期性公式，可以推导出四个角的振幅均远大于图像中心的振幅，这为之后为什么用ffshift居中图像以便于过滤而埋下伏笔。其中ffshift实际上是乘以了一个(-1)^x+y进行变化，如果想要详细知道为什么，可以参考冈萨雷斯数字图像处理MATLAB版.中文版的第79-80页，我也会在文末附上解释理由。

如此一来就将图A中的频谱转化成了图B中的频谱，由此

                                        图 A

                                        图B
这样一来我们对频谱上进行滤波，就只需要扣一个圆，比原来的函数简单的多得多，这也就是为什么需要进行居中的原因了。

8. 实验部分
       为了让大家更好地理解傅里叶变化，我会把一个极为简单的样例上传至github中，希望能够对大家有帮助！其中也有冈萨雷斯的教材！
   github：https://github.com/SkyTu/Image-Processing-Learn
   
   这里的窗口大小是指傅里叶变换+居中后保留频谱的半径。如果不是很懂在这篇博文中有详细阐述！https://blog.csdn.net/qq_29721419/article/details/53142320
   最后附上冈萨雷斯中对对数变换的解释，有兴趣的可以深入研究。本人着实解释水平有限，希望大家能够静下心来慢慢理解。
   
   
   如果文章中有错误，谢谢大家指出！！