【信号与系统学习笔记 3】—— 系统，以及系统的性质以及判断方法解析

一、系统的分类

其实，系统的分类无非就是两大类：离散时间系统、一个是连续时间系统

那么，如何判断呢？很简单，就是看一个系统的输入和输出是什么信号。如果 $x(t)$ 和 $y(t)$ 是离散时间信号，那么系统就是离散时间系统；如果 $x(t)$ 和 $y(t)$ 是连续时间信号，那么就是连续时间系统。

二、系统的性质

2.1 记忆性和无记忆性

首先我们先看看无记忆性是什么：无记忆性就是系统在 $t$ 时刻的输出 $y(t)$，只与系统在 $t$ 时刻的输入有关。而记忆系统，就是 $t$ 时刻的输出不仅仅与当前时刻的输入有关（可以是与过去时刻，甚至也可以与将来时刻）

这里注意一个信号：$y=x(t-1)$，这个输出表示的是输入信号前一个时刻的值，那么就不是与当前时刻 $t$ 有关了，所以是记忆性的。

2.2 可逆性与可逆系统

假设我们有一个系统 $S$，如果输入 $x$ 经过这个系统得到的输出是 $y$，接着，假如存在这样一个系统 $S2$，使得 $y$ 作为输入输入进这个 $S2$ 系统之后得到的输出是 $x$，而且这个 $S2$ 系统有且只有一个，那么我们就说系统 $S$ 是可逆的。

另外，还有一个理解方式：就是对于一个系统，不同的输入都会对应着不同的输出，那么这个系统就是可逆的（理解成单调可以吗？似乎不太准确？）

2.3 稳定性

假如一个系统，给出的输入是有界的，那么输出也一定是有界的。这样我们说系统是稳定的。

比如：$y(t)=tx(t)$ 就是不稳定的，因为即使你的输入 $x(t)$ 有界，那万一时间 t 是无穷呢？输出就是无界的了

2.4 因果性

因果性指的是 系统的输出只和当前时刻的输入和之前时刻的输入有关。（当然：说明一点，如果输出仅仅只和当前的输入有关，那么也是因果的，同时还是无记忆的）

例如：驾驶系统一一定是一个因果性的系统，因为车子无法预测下一个时刻车主将要干的事情

不过，如果自变量不是和时间有关的，那么系统不一定需要具有因果性。比如图像的像素点，它们与时间无关，其中的卷积操作，如果我们把卷积操作视为一个系统，那么输出是和之后位置的像素点值有关的。但是由于像素并不是和时间有关的，所以这个系统不受因果性的限制。

2.5 时不变性

这个很重要：我们有如下的解释：
如果在 $t$ 时刻系统的输入是 $x(t)$，对应的输出是 $y(t)$。那么在 $t-t_0$ 时刻的输入 $x(t-t_0)$，就会对应输出 $y(t-t_0)$。这样，我们就说这个系统是具有时不变性的。

那么，如何判断系统是否具有时不变性呢？我们举一个例子：
假设：$y(t)=tsin[x(t)]$

1. 首先，我们假设在 $t$ 时刻的输入是 $x_1(t)$，那么输出就是：$y_1(t)=tsin[x_1(t)]$

2. 接着，我们假设在 $t-t_0$ 时刻的输入是 $x_1(t-t_0)$，那么，对应的输出就是：$y_2(t)=tsin[x(t-t_0)]$

3. 下面，我们需要验证：$y(t-t_0)$ 是否等于 $y_2(t)$。那么，我们看看 $y(t-t_0)$ 等于啥：
   $y(t-t_0)=(t-t_0)sin[x(t-t_0)]$。显然：$y(t-t_0)\ne y_2(t)$，所以系统是时变的

2.7 线性性

如何判断一个系统是否具有线性？
系统需要同时满足可加性和比例性才是线性的, 也就是说，我们再判断系统的线性性时，需要分别检测可加性和比例性。下面具体说明：

1. 首先假设一个 $x_1(t)$，得到输出 $y_1(t)$
2. 再假设一个 $x_2(t)$，得到输出 $y_2(t)$
3. 那么现在开始验证可加性：给一个输入 $x_1(t)+x_2(t)$，得到输出 $y_3(t)$
4. 判断 $y_3(t)$ 是否等于 $y_1(t)+y_2(t)$

上述步骤完成了可加性的证明，下面要看是否满足比例性：

1. 首先假设一个 $x_1(t)$，得到输出 $y_1(t)$
2. 再给一个输入 $K{x}_1(t)$，得到输出 $y_2(t)$
3. 判断 $y_2(t)$ 是否等于 $K{y}_1(t)$

上述步骤就完成了比例性的证明。

另外，我们看看一个很特别的 system：$y(t)=x(t)+2$
首先，验证是否满足可加性。假设两个输入 $x_1(t),x_2(t)$，分别得到 $y_1(t),y_2(t)$
$y_1(t)=x_1(t)+2；y_2(t)=x_2(t)+2$；接着我们给一个输入 $x_1(t)+x_2(t)$，得到输出 $y_3(t)$：$$y_3(t)=x_1(t)+x_2(t)+2$$
而 $y_1(t)+y_2(t)=x_1(t)+x_2(t)+4$，显然与 $y_3(t)$ 不相等，不满足可加性。

我们也可以证明它还不满足比例性，所以这不是一个线性系统。但是这很疯狂，因为你看这个系统的表达式，多么漂亮的线性方程，居然连线性系统两个条件的一个都无法满足。。但是，这个系统和线性还是有联系的，它叫做增量线性系统：$y_1(t)-y_2(t)=x_1(t)-x_2(t)$

其实，任何一个增量线性系统都可以化成一个线性系统加上一个与输入无关的响应