图论之Dijkstra最短路径算法

图论中最有名的问题可能就属最短路径了。最短路径问题要求解的是：如果从图中某一顶点（称为源点）到达另一顶点（称为终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径，使得沿此路径各边上的权值总和（即从源点到终点的距离）达到最小，这条路径称为最短路径（shortestpath）。最短路径有很多特殊的情况，包括有向图还是无向图，有没有负权边等。这几天我想介绍一下几种常用的最短路径算法。今天先讲情况最简单（有向图，没有负权边），但也是最有名Dijkstra算法。

首先描述一下问题：给定一个有向图G和源点v，求v0到G中某个顶点u的最短路径。限定各边上的权值大于或等于0。

算法的基本思想很简单：所有的顶点，按照它到源点v的距离，客观上存在一个从小到大的顺序，我们只要按照这个顺序找下去，总有一步会找到目标顶点u，而此时的距离就是u到源点v的距离。

想法简单，但关键是怎么按照“客观存在的大小顺序”计算各点到源点v的距离呢？我们先简单思考一下，按照距离v的远近顺序，v一定是排第一的，然后呢，排第二的一定是和v直接相连的点吧，否则总有一个点介于排第二的点和v之间，而它到v的距离肯定也比第二到v的距离近，那这个第二就有些名副其实了。比较麻烦的是，排第三的点在哪里？利用递归的想法就会发现，排第三的点应该从那些和v直接相连，或者和第二名直接相连的点中去寻找，否则第三名就会名副其实了。总结一下，需要找第n个点时，只需要在那些和前n-1个点直接相连的点里面找就行了。

Dijkstra算法的具体实现方法为：

1.设置两个顶点的集合T和S：

a) S中存放已找到最短路径的顶点，初始时，集合S中只有一个顶点，即源点v0；

b) T中存放当前还未找到最短路径的顶点；

2.在T集合中选取当前长度最短的一条最短路径(v0,…,vk)，从而将vk加入到顶点集合S中，并修改源点v0到T中各顶点的最短路径长度；重复这一步骤，直到所有的顶点都加入到集合S中，算法就结束了。

下面给个用Dijkstra计算最短路径的例子

1)首先求出长度最短的一条最短路径，即顶点0到顶点2的最短路径，其长度为5，其实就是顶点0到其他各顶点的直接路径中最短的路径(v0→v2)。

2)顶点2的最短路径求出来以后，顶点0到其他各顶点的最短路径长度有可能要改变。例如从顶点0到顶点1的最短路径长度由∞缩短为20，从顶点0到顶点5的最短路径长度也由∞缩短为12。这样长度次短的最短路径长度就是在还未确定最终的最短路径长度的顶点中选择最小的，即顶点0到顶点5的最短路径长度，为12，其路径为(v0→v2→v5)。

3)顶点5的最短路径求出来以后，顶点0到其他各顶点的最短路径长度有可能要改变。例如从顶点0到顶点3的最短路径长度由30缩短为22，从顶点0到顶点4的最短路径长度也由∞缩短为30。这样长度第三短的最短路径长度就是在还未确定最终的最短路径长度的顶点中选择最小的，即顶点0到顶点1的最短路径长度，为20，其路径为(v0→v2→v1)。

4)此后再依次确定顶点0到顶点3的最短路径(v0→v2→v5→v3)，其长度为22；以及顶点0到顶点4的最短路径(v0→v2→v1→v4)，其长度为28。