算法-排序-快速排序(QuickSort)分析

题目：算法-排序-快速排序(QuickSort)分析

摘要：

此文介绍了快速排序的算法以及基本分析，最后总结。

此系列文均为方便日后重复粗略查看时不必翻看书籍。

http://jackaldire.com/200908/quick-sort-analysis/ 快速排序详细分析 


给出了非常详细的PARTITION时各种扫描方式， 以及介绍分治时尾递归的方式。


值得学习

简要介绍

快速排序通过划分数组为分别大于和小于key的两个连续部分，进而递归实现排序。

它的特点包括：

1. 就地排序(in place): 不需要更多的内存空间

2. 递归调用：思路简单

运行时间：

1. 最坏情况 ，

2. 平均情况 ， 而且隐含的常数因子很小。 （何谓隐含的常数因子？…， TO BE IDTENDIFIED）

算法过程

Quick Sort过程 ([2],P85)

QUICKSORT(A , p , r )

1 if p < r

2 then q ← PARTITION(A , p , r )

3 QUICKSORT(A , p , q - 1)

4 QUICKSORT(A , q + 1, r )

Quick Sort中用到的PARTITION过程 ([2],P85)

PARTITION(A , p , r )

1 x ← A [r ]

2 i ← p - 1

3 for j ← p to r - 1

4 do if A [j ] ≤ x

5 then i ← i + 1

6 exchange A [i ] ↔ A [j ]

7 exchange A [i + 1] ↔ A [r ]

8 return i + 1

下图([2] 图7-2)非常好的描述了PARTITION过程中数组元素的位置分布情况。

下面简单介绍一下PARTITION的循环中某一次的数据编排方式：

IF (Array[j] > x, 

                    j++ 

ELSE 

                    i++, j++,

                    exchange Array[i] <-> Array[j-1]

算法简单分析

算法简单分析中，将着重以传达意思为主，不会涉及严格的数学公式证明。





注意：每次划分n个元素的时间代价为 thet(n). 不论划分结果如何.





假设对n个元素排序所需时间为 T(n)







最坏情况：






最坏情况为划分的两个区域分别包含 n-1 个 和 0 个元素，



即：每次划分选取的基准都是当前无序区中关键字最小（或最大）的记录。



这样接下来的n-1个元素划分的时间为T(n-1)。





这样我们得到





T(n)=T(n-1)+thet(n)





看到这个公式，根据基本概念，可以知道其复杂度为thet(n平方). 当然也可以通过[2]中的主定理证明。





思考：如果输入数据已经排好序，不论正序或者倒序，都将造成最坏情况。







最佳情况：






最佳情况为两个区域个包含 n/2个元素，这样





T(n)=2T(n/2)+thet(n)





再由主定理 复杂度为 thet(nlgn)













思考1：merge sort的公式为T(n) = 2 T(n/2) + thet(n), 其时间复杂度为 thet( n * log n ). 为什么不直接使用merge sort？ 





因为merge sort需要太多的memory。





思考2：这里，我们一定要有这样的思维，目前我们碰到的merge sort, quick sort都出现了T(n) = T ( an+b ) + thet(n)类似的公式。





也就是说，有可能大部分简单的排序算法都可以通过分而治之(divide and conquer), 分步法等简要直白的方式，将问题简化为此类公式。





此公式方便的打开了算法分析之门。





思考3：merge sort最大可能使用多少内存？TODO














我们知道，我们无法决定每次划分的情况。但是我们知道只要每次划分出现一定随机化分布，就会得到比较好的划分结果，至少不会最差。





我们通过每次选择参照的元素时，不直接选取最后一个，而是随机选取（random sampling)，就可以轻易达到效果。





同时，不用担心对原有PARTITION程序的乖动，我们只要在随机选取后，将随机样本与数组最后元素交换位置即可。





如下：





RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)





1. i <- RANDOM(p, r)





2. exchange A[r] <-> A[i]





3. PARTITION(A, p, r)









RANDOMIZED-QUICKSORT(A, p, r)





1. if p < r





2. then q <- RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)





3.         RANDOMIZED-PARTITION(A, p, q-1)





4.         RANDOMIZED-PARTITION(A, q+1, r)











算法进一步分析










TODO

总结

TODO。

参考文献：

[1]. 算法分析导论 Section1.4平均情形分析，1.5例：快速排序的分析

[2]. 算法导论,CH，V2，  Chapter 7 快速排序