BP神经网络（四）--梯度下降法python实例

下面我们将用python实现一个简单的梯度下降算法。场景是一个简单的线性回归的例子：假设现在我们有一系列的点，如下图所示：

从图上可以看出横坐标x的取值范围是0到20，近似于一条直线。这里用梯度下降法来拟合这条曲线。由于这条曲线近似于直线，所以用线性方程做拟合。我们假设线性方程式为：
$$h_{(\Theta )}(x^{(i)})={\Theta }_0+{\Theta }_1{x}^{(i)}$$
此为假设的预测函数，根据每一个输入点$x^{(i)}$。会有一个预测的输出值$h_{(\Theta )}(x^{(i)})$，${\Theta }_0、{\Theta }_1$为待求的参数。
我们再来定义一个代价函数，这里选用均方误差代价函数：
$$J(\Theta )=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(h_{(\Theta )}(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$$

上式中，m为数据集中点的个数。

$\frac{1}{2}$是为了求导方便加入的，因为在求梯度时，二次方乘下来就和这里$\frac{1}{2}$抵消了，方便后续的计算，对结果不会有影响。

$y^{(i)}是数据集中每个点的真实y坐标的值。$

$h_{(\Theta )}(x^{(i)})$是我们刚刚定义的预测函数，根据每一个输入$x^{(i)}$，根据$\Theta ({\Theta }_0,{\Theta }_1)$计算得到预测的纵坐标值。

我们知道函数在一个已知点的梯度的反方向上，下降最快，所以要通过对代价函数进行梯度下降法，使得计算次数最小。在用梯度下降法进行多次迭代后，使均方误差代价函数的值小于某个给定的阈值，此时的$\Theta ({\Theta }_0,{\Theta }_1)$为满足条件的最优化参数，那么线性方程式也就确定了。

根据代价函数看到，代价函数中的变量有两个，所以是一个多变量的梯下降问题，求解出代价函数的梯度，也就是分别对两个变量进行求偏导：
$$\Delta J(\Theta )=⟨\frac{\delta J}{\delta {\Theta }_0},\frac{\delta J}{\delta {\Theta }_1}⟩$$
$$\frac{\delta J}{\delta {\Theta }_0}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{(\Theta )}(x^{(i)})-y^{(i)})$$
$$\frac{\delta J}{\delta {\Theta }_1}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{(\Theta )}(x^{(i)})-y^{(i)})x^{(i)}$$

为了方便代码的编写，将所有的公式都转换为矩阵的形式，Python中计算矩阵是非常方便的，同时代码也会变得非常的简洁:
$$h_{(\Theta )}(x^{(i)})={\Theta }_0+{\Theta }_1{x}^{(i)}$$

有两个变量，为了对这个公式进行矩阵化，给每一个点x增加一维，这一维的 值固定为1，这一维将会乘到${\Theta }_0$上。这样就方便统一矩阵化的计算。
之前的$x^{(i)}$变成$(1,x^{(i)})$。$h_{(\Theta )}(x^{(i)})={\Theta }_0+{\Theta }_1{x}^{(i)}$对于每一个点就变成了:

$$(1,x^{(i)})\ast \left(\begin{array}{c}{\Theta }_0\\ {\Theta }_1\end{array}\right)$$
m个点的矩阵形式为：
$$\left(\begin{array}{cc}1& x^{(1)}\\ ...& ...\\ 1& x^{(m)}\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}{\Theta }_0\\ {\Theta }_1\end{array}\right)$$
为了方便表示，另$X=\left(\begin{array}{cc}1& x^{(1)}\\ ...& ...\\ 1& x^{(m)}\end{array}\right)，\Theta =\left(\begin{array}{c}{\Theta }_0\\ {\Theta }_1\end{array}\right)$

然后将代价函数和梯度转化为矩阵向量相乘的形式:
$$J(\Theta )=\frac{1}{2m}(X\Theta -y{)}^T(X\Theta -y)$$
$$\Delta J(\Theta )=\frac{1}{m}{X}^T(X\Theta -y)$$
下面为代码实现部分：
首先定义数据集和学习率：

import numpy as np
m = 20   #数据集个数
X0 = np.ones((m,1))
X2 = np.arange(1,m+1)
X1 = X2.reshape(m,1)
X  = np.hstack((X0,X1))
y = np.array([3,4,5,5,2,4,7,8,11,8,12,11,13,13,16,17,18,17,19,21]).reshape(m,1)#相应y的值
alpha = 0.01#学习率

定义误差函数和梯度函数：

def error_function(theta,X,y): #误差函数
    diff = np.dot(X,theta)-y
    return (1./m)*np.dot(np.transpose(X),diff)
def gradient_function(theta,X,y):#梯度函数
    diff = np.dot(X,theta) - y
    return (1./m)*np.dot(np.transpose(X),diff)

迭代进行梯度下降，直到满足给定的阈值：

def gradient_descent(X,y,alpha):#梯度下降法
    theta = np.array([1,1]).reshape(2,1)
    gradient = gradient_function(theta,X,y)
    while np.all(np.absolute(gradient) > 1e-5):
        theta = theta - alpha * gradient 
        gradient = gradient_function(theta,X,y)
    return theta
optimal_theta = gradient_descent(X,y,alpha)
print('optimal_theta:', optimal_theta)
print('error_function:',error_function(optimal_theta,X,y))

执行结果如下图：

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