四元数的基本运算

一、四元数的定义

四元数是由复数扩展而来：

a+bi⟹ω+xi+yj+zk

四元数表示为（齐次形式）：

q=(ω,x,y,z)

或者（标量/向量形式）：

q=(ω,v→)

其中：

i2=j2=k2=ijk=−1
ij=k,jk=i,ki=j
ji=−k,kj=−i,ik=−j

二、四元数的相关概念

设两个四元数为:

p=x1i→+y1j→+z1k→+w1

q=x2i→+y2j→+z2k→+w2

1、四元数和轴-角

设向量n为旋转轴，θ为绕轴旋转的量。

q=[cos(θ/2),sin(θ/2)n]=[cos(θ/2),(sin(θ/2)nx,sin(θ/2)ny,sin(θ/2)nz)]

2、负四元数

−q=[−w(−x−y−z)]=[−w−v→]

q和-q代表的位移是相同的。

3、单位四元数

几何上存在2个单位四元数：[1,0]和[-1,0]。
它们的意义是：当旋转角为360度的整数倍时，方位并没有改变，并且旋转轴也是无关紧要的。

数学上只有一个单位四元数：[1,0]。任意四元数q乘以单位四元数[1,0]仍为q。

4、四元数的模

||q||=||[w,(xyz)]||=w2+x2+y2+z2−−−−−−−−−−−−−−√=||[w,v]||=w2+||v||2−−−−−−−−√

几何意义：

||q||=(cos(θ/2)2+sin(θ/2)2||n||2)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

若n为单位向量，则： ||q||=1

5、四元数的共轭

q∗=[w−v]=[w(−x−y−z)]

(q∗)∗=q   (pq)∗=q∗p∗   (p+q)∗=q∗+p∗   p∗p=pp∗

6、四元数的逆：

q−1=q∗||q||

使用单位四元数，故 q−1=q∗

几何解释：使向量v反向，则旋转方向也反向了。因此q绕轴旋转θ角，而q*沿相反的方向旋转相同的角度。

7、四元数纯量部：Scalar(p)

Scalar(p)=w

8、四元数向量部：Vector(p)

Vector(p)=xi+yj+zk

9、四元数符号数：sgn(p)

sgn(p)=pp∗

a、四元数辐角：arg(p)

arg(p)=acos(Scalar(p)||p||)

三、四元数的基本运算

1、加减

p±q=(w1±w2)+(x1±x2)i→+(y1±y2)j→+(z1±z2)k→

2、数乘

kp=[k 0]⋅[w v]=k[w v]=[kw kv]=k[w (x y z)]=[kw kx ky kz]

3、点乘

pq=[w1 n1]⋅[w2 n2]=w1w2+v1v2

几何解释：类似于向量点乘的几何解释，两四元数点乘绝对值越大，其代表的角位移越相似。

4、叉乘

[w1 v1]×[w2 v2]=[w1w2−v1v2 w1v2+w2v1+v2×v1]

满足结合律，不满足交换律

p×q=||q||×||q||

(p×q)−1=q−1×p−1

5、对数

单位四元数 ： q=[cos(θ),sin(θ)v→] 对数为：

logq=[0, θv→]

log[1,(0,0,0)=[0,(0,0,0)]

6、指数

四元数 q=[0,θv→],θ∈R,|v|=1 , 其指数为：

expq=[cosθ,sinθv→]

7、幂

单位四元数： q，t∈R , 其幂为:

qt=exp(tlogq)

四、参考

http://www.cnblogs.com/jietian331/p/5671101.html