线性代数(二十四) ： 行列式的展开式—拉普拉斯公式

本节讲述行列式的展开式--拉普拉斯公式以及其证明

0 回顾行列式的性质:

(1) 性质一 ：单位矩阵的行列式的值为1 det(I) = 1

(2) 性质二 ：交换矩阵的两行行列式的值的符号改变 ： det(A) = - det(B) (矩阵B由A交换两行得到)

1 引理

设A是nxn的矩阵它的第一列是e1：

其中A11表示由A去掉第一行和第一列组成的子矩阵，有如下引理：

证明：

由行列式的性质2可知将矩阵做初等列变换不会改变行列式的值

因此可将矩阵第一列乘以一个数加到其他列上，因此有：

易证函数C满足行列式的3条性质，因此：

2 子式(也叫余子式)

矩阵A的(i,j)子式 是A 去掉第i行 第j列 所剩余元素组成的矩阵，记做Aij，例：

3 推论

设A的第j列为ei 则：

证明：

根据行列式的性质交换矩阵的两行或者两列矩阵的行列式符号改变也就是*（-1）

因此可以用j次行交换和i次列交换将矩阵变为引理中第一列是e1的形式.这就证明了上述推论

下边是该证明的一个例子：

4 行列式按列展开的拉普拉斯公式

设A为任意nxn矩阵j是1到n的任意一个值，则A的行列式按第j列展开的拉普拉斯公式是：

5 拉普拉斯公式的证明

为简化 假设j = 1 ,并且将a1 写为标准单位向量的线性组合：

根据行列式的多重线性性质有：

由上边的推论可知：

带入上式有：

6 拉普拉斯展开示例