二叉树之一BST树，AVL树详解及B树和红黑树原理分析

BST树，AVL树详解及B树和红黑树原理分析

互联网面试中树尤其是BST，AVL是提问的重点也是难点，甚至B树乃至高级数据结构红黑树都是提问的重点，像阿里云面试就曾经问过map实现机制（红黑树）及其原理，这里我们要做到对BST/AVL完全熟悉能给出全部代码实现，红黑树、b树之类，有能力的需要完全理解，代码就不用掌握了。红黑树和b树看会就行了，当碰到你感觉他们不懂这方面的面试官的时候，可以逮着他们狂扯这部分，然后让他们感觉你很高大上。

以二叉树或者树作为表的组织形式，称为树表。树表在进行增删操作时可以方便维护表有序，不需要移动记录，比顺序存储的表效率要高，开销要低。常见树表BST/AVL，B树等。

一 二查搜索树BST

二叉排序树BST其定义：

1 首先它也是一个二叉树，故满足递归定义;

2 其次每个节点只存在一个值;

3 需满足左子树值<=根值<=右子树，故按照中序遍历会得到一个非递减序列。

BST涉及操作主要增，删，查，除了删麻烦一点，其他操作均可递归实现，二叉查找树的一般性质：1.在一棵二叉查找树上，执行查找、插入、删除等操作，的时间复杂度为O（lgn）。因为，一棵由n个结点，随机构造的二叉查找树的高度为lgn，所以顺理成章，一般操作的执行时间为O（lgn）。2.但若是一棵具有n个结点的线性链，则此些操作最坏情况运行时间为O（n）。

代码：

struct node{
int key;
node*left;
node*right;
};
int bstinsert(node*&p,int k){
if(p==NULL){p=(node*)malloc(sizeof(node));p->key=k;p->left=p->right=NULL;return 1;}
else {if(k==p->key)return 0;
      else if(kkey)return bstinsert(p->left,k);
      else return bstinsert(p->right,k);
        }
}
void bstcreate(node*&r,int a[],int n)
{
int i;
r==NULL;
for(i=0;ikey)return root;
	else if(kkey)return bstsearch(root->left,k);
	else return bstsearch(root->right,k);
	}
int bstdelete(node*&root,int k){
node *p=root,*pa,*r;
pa=NULL;//父节点
while(p&&p->key!=k){
pa=p;
if(p->key>k)p=p->left;
else p=p->right;
                     }
if(p==NULL)//没有找到k
{cout<<"Not Found!"<left==NULL&p->right==NULL){
if(pa==NULL)root=NULL;
else if(pa->left==p)pa->left=NULL;
else pa->right=NULL;
    delete p;}//叶子直接删除
else if(p->left==NULL){
if(pa==NULL)root=p->right;//p是根节点
else if(pa->left==p){pa->left=p->right;delete p;}//p是父节点左孩子，则用其右孩子取代
else {pa->right=p->right;delete p;}//p是父节点右孩子，则用其右孩子取代
                      }//只含右节点
else if(p->right==NULL){
if(pa==NULL)root=p->left;//p是根节点
else if(pa->left==p){pa->left=p->left;delete p;}//p是父节点左孩子，则用其右孩子取代
else {pa->right=p->left;delete p;}//p是父节点右孩子，则用其右孩子取代
                      }//只含左节点
else {
    //需要找左子树最左下或者右子树最左下孩子r取代p故先找到r
    node*p1=p;r=p->left;
    while(r->right){p1=r;r=r->right;}
    //找到r节点，且该节点一定无右子树，符合上面的无右子树情况
    if(p1->left==r){p1->left=r->left;}
    else if(p1->right==r){p1->right=r->left;}
    //删除r后再把r替代p
    r->left=p->left;
    r->right=p->right;
    if(pa==NULL)root=r;
    else if(pa->left==p)pa->left=r;
    else pa->right=r;
    delete p;
      }//既有左孩子又有右孩子
p=NULL;
return 1;
}
void inorder(node*r){
    if(r){
inorder(r->left);
cout<key<<" ";
inorder(r->right);
         }
}
void bstdis(node *r){
inorder(r);
cout<

特点：就时间复杂度来说，BST的查找与二分查找性能差不多，但是增删时BST无需移动记录，只需移动指针比顺序存储好很多;一般性能都在O（log n）。

缺点：面对序列原本就是顺序：

如右边顺序序列所示，此时性能和顺序存储无异。所以，使用BST树还要考虑尽可能让BST树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题j 进而引出AVL。   

二 平衡二叉树AVL

平衡二叉树AVL是带有平衡条件的BST，这个平衡条件必须容易保持，且需要保持树的深度O（log N），一般想法是要求每个节点都必须要有相同高度，但是这样要求太严格，难以实现，故退一步引出AVL：

1 首先仍是一棵二叉树，满足递归定义;

2 其次又是一棵BST，满足有序;

3 每个节点左右子树高度差的绝对值不能超过1

AVL树各节点的平衡因子定义为左子树深度减去右子树深度，AVL的平衡因子一般都只能-1，0，1，当绝对值大于1时则AVL失去平衡。例如在完成插入后，失衡只有那些从插入点到根节点路径上的平衡可能被打破，当沿着这条路径上溯到根，找到插入新节点后失去平衡的最小子树根节点的指针x，然后再调整这个子树使之重新平衡。注意当失去平衡的最小子树（这样的最小子树指的是离插入点最近）调整平衡后，原有的其他所有不平衡树无需调整，整个二叉树回归平衡，使得BST操作性能始终维持在对数级别。这种调整所需要的主要技术就是旋转，下面具体介绍：

1 插入点位于x的左孩子的左子树中--左左LL;

2 插入点位于x的左孩子的右子树-中-左右LR;

3 插入点位于x的右孩子的左子树-中-右左RL;

4 插入点位于x的右孩子的右子树-中-右右RR;

1和4是对称的，成为外侧插入，通过单旋转解决;2和3是对称的，成为内侧插入，通过单旋转解决。

1 LL型调整（右旋）

设最深节点k2，最深节点左孩子k1，在k1左子树再插入一个新节点，使得k2平衡因子大于1不平衡，如图，k2原始平衡因子为1，矩形代表一个高度h的子树，带阴影方框为插入的一个节点，采用的方法单向右转：

class avlnode{
    private:
	int key;
	int height;
	int freq;
	avlnode*left;
	avlnode*right;
	avlnode(int h=1):left(NULL),right(NULL),height(h),freq(1){}
};
int get_height(avlnode *r){
if(r)return r->height;
else return 0;
}
void singlerotate_left(avlnode *&r){
avlnode *k2=r;
avlnode *k1=k2->left;
k2->left=k1->right;
k1->right=k2;
k2->height=max(get_height(k2->left),get_height(k2->right))+1;
k1->height=max(get_height(k1->left),get_height(k1->right))+1;
} 

2 RR型调整
如图，采用方法单向左旋：

void singlerotate_right(avlnode*&r){
avlnode*k2=r;
avlnode*k1=k2->right;
k2->right=k1->left;
k1->left=k2;
k2->height=max(get_height(k2->left),get_height(k2->right))+1;
k1->height=max(get_height(k1->left),get_height(k1->right))+1;
}

3 LR型调整
此时在最深节点k2的左孩子k1的右子树插入节点，使得k2平衡因子大于1，调整的方法是先单向左旋即将k2，最后单向右旋：

void doubleLeft_right(avlnode*&r){
avlnode*k2=r;
avlnode*k1=r->left;
singlerotate_right(k1);
singlerotate_left(k2);
}

4 RL型调整

类似LR型直接贴出代码就行。

void doubleright_left(avlnode*&r){
avlnode*k2=r;
avlnode*k1=r->right;
singlerotate_left(k1);
singlerotate_right(k2);
}

相应增删查操作如下:

注意增加操作类似BST，只不过在完成插入后需要进行调整;查找操作一样;删除操作也分为几种情况：

首先在树中搜寻是否有节点的元素值等于需要删除的元素。如未搜索到，直接返回。否则执行以下操作。

（1）要删除的节点是当前根节点T。如果左右子树都非空。在高度较大的子树中实施删除操作。分两种情况：A、左子树高度大于右子树高度，将左子树中最大的那个元素赋给当前根节点，然后删除左子树中元素值最大的那个节点。B、左子树高度小于右子树高度，将右子树中最小的那个元素赋给当前根节点，然后删除右子树中元素值最小的那个节点。如果左右子树中有一个为空，那么直接用那个非空子树或者是NULL替换当前根节点即可。

（2）要删除的节点元素值小于当前根节点T值，在左子树中进行删除。递归调用，在左子树中实施删除。这个是需要判断当前根节点是否仍然满足平衡条件，如果满足平衡条件，只需要更新当前根节点T的高度信息。否则，需要进行旋转调整：如果T的左子节点的左子树的高度大于T的左子节点的右子树的高度，进行相应的单旋转。否则进行双旋转。（3）要删除的节点元素值大于当前根节点T值，在右子树中进行删除。过程与上述步骤类似。

代码：

//AVL
int max1(int x,int y){
return (x>y? x:y);
}
class avlnode{
    public:
	int key;
	int height;
	int freq;
	avlnode*left;
	avlnode*right;
	avlnode(int h=0):left(NULL),right(NULL),height(h),freq(1){}
};
int get_height(avlnode *r){
if(r)return r->height;
else return 0;
}
avlnode* singlerotate_left(avlnode *k2){
avlnode *k1=k2->left;
k2->left=k1->right;
k1->right=k2;
k2->height=max1(get_height(k2->left),get_height(k2->right))+1;
k1->height=max1(get_height(k1->left),get_height(k1->right))+1;
return k1;
} 
avlnode* singlerotate_right(avlnode*k2){
avlnode*k1=k2->right;
k2->right=k1->left;
k1->left=k2;
k2->height=max1(get_height(k2->left),get_height(k2->right))+1;
k1->height=max1(get_height(k1->left),get_height(k1->right))+1;
return k1;
}
avlnode* doubleLeft_right(avlnode*k2){
avlnode*k1=k2->left;
k2->left=singlerotate_right(k1);
return singlerotate_left(k2);
}
avlnode* doubleright_left(avlnode*k2){
avlnode*k1=k2->right;
k2->right=singlerotate_left(k1);
return singlerotate_right(k2);
}
avlnode* avlinsert(avlnode*&r,int k){
if(r==NULL){r=new avlnode();r->key=k;}
else{
    if(r->key>k){
    r->left=avlinsert(r->left,k);//类似BST
    if(get_height(r->left)-get_height(r->right)==2)
    {   if(r->left->key>k)r=singlerotate_left(r);//LL
	else r=doubleLeft_right(r);//LR
    }//不平衡
                   }//BST左子树
    else if(r->keyright=avlinsert(r->right,k);
    if(get_height(r->right)-get_height(r->left)==2)
    {if(r->right->keyfreq);
    }
 r->height=max1(get_height(r->left),get_height(r->right))+1;
 return r;
}
void avlinsert1(avlnode*&r,int k){
if(r==NULL){r=new avlnode();r->key=k;}
else{
    if(r->key>k){
    avlinsert1(r->left,k);//类似BST

                   }//BST左子树
    else if(r->keyright,k);

         }//BST右子树
    else ++(r->freq);
     }
   r->height=max1(get_height(r->left),get_height(r->right))+1;
}
void avlcreate(avlnode*&r,int a[],int n){
int i;
r=NULL;
for(i=0;ikey){
    res=avldelete(root->left,k);
    if(res){
	if(get_height(root->right)-get_height(root->left)==2)
	{if(root->right->left&&get_height(root->right->left)>get_height(root->right->right))
	    doubleright_left(root);
	 else singlerotate_right(root);
	}
             }
            }//左子树
else if(k>root->key){
    res=avldelete(root->right,k);
    if(res){
       if(get_height(root->left)-get_height(root->right)==2)
       {if(root->left->right&&get_height(root->left->right)>get_height(root->left->left))
	   doubleLeft_right(root);
	else singlerotate_left(root);
       }
           }
                     }//右子树
else{
    if(root->left&&root->right){
	if(get_height(root->left)>get_height(root->right))
	{avlnode*p1=root;avlnode*p=root->left;
	 while(p->right){p1=p;p=p->right;}
	 //选出左子树最大值
         root->key=p->key;
	 avldelete(root->left,root->key);//删除左子树最大值
	}
	else {
	    avlnode*p1=root;avlnode*p=root->right;
	    while(p->left){p1=p;p=p->left;}
	    //选出右子树最小值
	    root->key=p->key;
	    avldelete(root->right,root->key);
	     }//选出右子树最小值
                                  }//左右子树非空，看哪边高
    //这里也可以采用BST写法不是赋值而是节点取代，只不过麻烦一丢
    else {
    avlnode*tmp=root;
    root=(root->left? root->left:root->right);
    delete tmp;
    tmp=NULL;
         }//左右子树有一个不为空
     }
      }
return 1;
}
void inorder(avlnode*r){
if(r){inorder(r->left);
    cout<key<<" "<height<right);
         }
                       }
void avldis(avlnode*r){
inorder(r);cout<key<<" ";
    if(p->left){rear++;q[rear]=p->left;}
    if(p->right){rear++;q[rear]=p->right;}
                  }
}
void avlbfs(avlnode*r){
bfs(r);
cout<key)return r;
else if(kkey)return avlsearch(r->left,k);
else return avlsearch(r->right,k);
}

AVL树的测试

首先新建一棵AVL树，然后 依次添加" 3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9 " 到AVL树中；添加完毕之后，再将8 从AVL树中删除。AVL树的添加和删除过程如下图：

(01) 添加3,2
添加3,2都不会破坏AVL树的平衡性。

(02) 添加1
添加1之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下：

(03) 添加4
添加4不会破坏AVL树的平衡性。

(04) 添加5
添加5之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下：

(05) 添加6
添加6之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下：

(06) 添加7
添加7之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下：

(07) 添加16
添加16不会破坏AVL树的平衡性。

(08) 添加15
添加15之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下：

(09) 添加14
添加14之后，AVL树失去平衡(RL)，此时需要对AVL树进行旋转(RL旋转)。旋转过程如下：

(10) 添加13
添加13之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下：

(11) 添加12
添加12之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下：

(12) 添加11
添加11之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下：

(13) 添加10
添加10之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下：

(14) 添加8
添加8不会破坏AVL树的平衡性。

(15) 添加9
但是添加9之后，AVL树失去平衡(LR)，此时需要对AVL树进行旋转(LR旋转)。旋转过程如下：

添加完所有数据之后，得到的AVL树如下：

接着，删除节点8.删除节点8并不会造成AVL树的不平衡，所以不需要旋转，操作示意图如下：

三 红黑树

历史上AVL树流行的另一个版本是红黑树RBT。对红黑树的操作在最坏情况下花费O(log n)时间，而且相对于普通AVL树可能更容易实现。相比较AVL，

1 AVL是严格平衡树，故在增加或者删除节点时，调整所需旋转较多;

2 RBT是平衡与操作复杂性上做了tradeoff，是弱平衡，用非严格的平衡换取增删节点时操作的简单。故当操作主要集中在搜索而非增删时应采用AVL;如果增删操作更多，为了提高可操作性应该选择RBT。其定义：

1 首先是BST，故中序遍历后是非递减序列;

2 弱化的平衡树;

3 不同于BST，AVL，RBT每个节点含有五个域，color/key/left/right/p;

4 根节点一定是黑的（特性2），全空的这种叶子节点也是黑的（特性3），其他每个节点非黑即红(特性1);

5 如果叶子节点是红的，那么两个孩子肯定都是黑的（特性4）;

6 对于每一个节点，从该节点到其子孙节点（直到NULL）的所有路径上包含相同数目的黑节点（特性5）

这种着色原则导致RBT高度最多2log(n+1)，因此查找肯定是对数操作。通过每条路径上各个节点着色方式的限制，RBT确保没有一条路径会比其他路径长出2倍，因而是一种广泛意义上的平衡。同其他BST一样，问题在于一个新节点的插入，通常做法是将其放在叶子上。如果把它改成黑色，那么肯定违反路径同数目黑色的原则，因此肯定要标为红色：如果它的父节点是黑色，那么插入完成;如果父节点是红色，那么违反父红子黑原则，故需要调整。主要是颜色的改变和旋转。

我们在对红黑树进行插入和删除等操作时，对树做了修改，那么可能会违背红黑树的性质。为了保持红黑树的性质，我们可以通过对树进行旋转，即修改树种某些结点的颜色及指针结构，以达到对红黑树进行插入、删除结点等操作时，红黑树依然能保持它特有的性质.

RBT的旋转：

1 左旋（逆时针旋转）

可以看到类似AVL里的LL型调整，也是逆时针旋转

2 右旋（顺时针旋转）

可以看到类似AVL树里的RR型调整即顺时针旋转。

但是旋转只能保持作为平衡树的性质，而RBT红黑性不能保持，故还需要颜色重涂来保证。总结来看就是两条：1 部分结点颜色，重新着色；2 调整部分指针的指向，即左旋、右旋。

下面将通过图和代码来阐述复杂的插入和删除：

1 RBT的插入

向一棵含有n个结点的红黑树插入一个新结点的操作可以在O（lgn）时间内完成。

插入前：选择的插入节点是红色，按照BST准则找到合适位置;

插入时：

情况1 插入的就是根节点

原树是空树，插入红节点，违背根黑;

对策：需要把节点涂成黑色;

void insert_case1(node *n){
if(n->parent==NULL)
   n->color=BLACK;//就是根节点没有父节点
else 
    insert_case2(n);
}

情况2 插入的节点的父节点是黑色

成功插入

void insert_case2(node *n){
  if(n->parent&&n->parent->color==BLACK)
     return;
else insert_case3(n);
}

情况3 插入的节点的父节点是红色且叔叔节点是红色

此时祖父节点一定存在，与此同时，又分为父结点是祖父结点的左子还是右子，对于对称性，我们只要解开一个方向就可以，在此，我们只考虑父结点为祖父左子的情况。

对策：将当前节点的父节点和叔叔节点涂黑，祖父结点涂红，把当前结点指向祖父节点，从新的当前节点重新开始算法。

下面谈谈为什么要这样处理。(建议理解的时候，通过下面的图进行对比)

“当前节点”和“父节点”都是红色，违背“特性(4)”。所以，将“父节点”设置“黑色”以解决这个问题。但是，将“父节点”由“红色”变成“黑色”之后，违背了“特性(5)”：因为，包含“父节点”的分支的黑色节点的总数增加了1。  解决这个问题的办法是：将“祖父节点”由“黑色”变成红色，同时，将“叔叔节点”由“红色”变成“黑色”。关于这里，说明几点：第一，为什么“祖父节点”之前是黑色？这个应该很容易想明白，因为在变换操作之前，该树是红黑树，“父节点”是红色，那么“祖父节点”一定是黑色。 第二，为什么将“祖父节点”由“黑色”变成红色，同时，将“叔叔节点”由“红色”变成“黑色”；能解决“包含‘父节点’的分支的黑色节点的总数增加了1”的问题。这个道理也很简单。“包含‘父节点’的分支的黑色节点的总数增加了1” 同时也意味着 “包含‘祖父节点’的分支的黑色节点的总数增加了1”，既然这样，我们通过将“祖父节点”由“黑色”变成“红色”以解决“包含‘祖父节点’的分支的黑色节点的总数增加了1”的问题； 但是，这样处理之后又会引起另一个问题“包含‘叔叔’节点的分支的黑色节点的总数减少了1”，现在我们已知“叔叔节点”是“红色”，将“叔叔节点”设为“黑色”就能解决这个问题。 所以，将“祖父节点”由“黑色”变成红色，同时，将“叔叔节点”由“红色”变成“黑色”；就解决了该问题。按照上面的步骤处理之后：当前节点、父节点、叔叔节点之间都不会违背红黑树特性，但祖父节点却不一定。若此时，祖父节点是根节点，直接将祖父节点设为“黑色”，那就完全解决这个问题了；若祖父节点不是根节点，那我们需要将“祖父节点”设为“新的当前节点”，接着对“新的当前节点”进行分析。

void insert_case3(node *n){
if(uncle(n)&&uncle(n)->color==RED)
{ n->parent->color=BLACK;
  uncle(n)=BLACK;
grnadpa(n)->color=RED;
insert_case1(grandpa(n));}//把祖父节点当作新节点重新开始
else
 insert_case4(n);//否则叔叔是黑色节点
}

插入4节点变化前后：

情况4 插入的节点的父节点是红色且叔叔节点是黑色或者空NIL，当前节点是父节点右子（父节点仍然是祖父的左孩子）

对策：当前节点的父节点做为新的当前节点，以新当前节点为支点左旋。

 下面谈谈为什么要这样处理。(建议理解的时候，通过下面的图进行对比)

首先，将“父节点”作为“新的当前节点”；接着，以“新的当前节点”为支点进行左旋。 为了便于理解，我们先说明第(02)步，再说明第(01)步；为了便于说明，我们设置“父节点”的代号为F(Father)，“当前节点”的代号为S(Son)。为什么要“以F为支点进行左旋”呢？根据已知条件可知：S是F的右孩子。而之前我们说过，我们处理红黑树的核心思想：将红色的节点移到根节点；然后，将根节点设为黑色。既然是“将红色的节点移到根节点”，那就是说要不断的将破坏红黑树特性的红色节点上移(即向根方向移动)。 而S又是一个右孩子，因此，我们可以通过“左旋”来将S上移！按照上面的步骤(以F为支点进行左旋)处理之后：若S变成了根节点，那么直接将其设为“黑色”，就完全解决问题了；若S不是根节点，那我们需要执行步骤(01)，即“将F设为‘新的当前节点’”。那为什么不继续以S为新的当前节点继续处理，而需要以F为新的当前节点来进行处理呢？这是因为“左旋”之后，F变成了S的“子节点”，即S变成了F的父节点；而我们处理问题的时候，需要从下至上(由叶到根)方向进行处理；也就是说，必须先解决“孩子”的问题，再解决“父亲”的问题；所以，我们执行步骤(01)：将“父节点”作为“新的当前节点”。

void insert_case4(node *n){
if(n==n->parent->right&&n->parent==grandpa(n)->left)
{ rotate_left(n->parent);
  n=n->left;//作为新节点
}
else if(n==n->parent->left&&n->parent==grandpa(n)->right)
{ rotate_right(n->parent);
  n=n->right;//作为新节点
}
  insert_case5(n);
}

接着上图，7看成新插入的节点：

情况5 当前节点的父节点是红，叔叔是黑或者空NIL，当前节点是父节点的左子（父节点又是祖父的左孩子）

解法：父节点变为黑色，祖父节点变为红色，在祖父节点为支点右旋。

下面谈谈为什么要这样处理。(建议理解的时候，通过下面的图进行对比)

为了便于说明，我们设置“当前节点”为S(Original Son)，“兄弟节点”为B(Brother)，“叔叔节点”为U(Uncle)，“父节点”为F(Father)，祖父节点为G(Grand-Father)。S和F都是红色，违背了红黑树的“特性(4)”，我们可以将F由“红色”变为“黑色”，就解决了“违背‘特性(4)’”的问题；但却引起了其它问题：违背特性(5)，因为将F由红色改为黑色之后，所有经过F的分支的黑色节点的个数增加了1。那我们如何解决“所有经过F的分支的黑色节点的个数增加了1”的问题呢？ 我们可以通过“将G由黑色变成红色”，同时“以G为支点进行右旋”来解决。

void insert_case5(node *n){
n->parent->color=BLACK;
grandpa(n)->color=RED;
if(n==n->parent->left&&n->parent==grandpa(n)->left)
 rotate_right(grandpa(n));//顺时针
else 
   rotate_left(grandpa(n));/n 是其父节点的右孩子，而父节点P又是其父G的右孩子
}

接着上图，相当于新节点为2

2 RBT的删除

下面所有的文字，则是针对红黑树删除结点后，所做的修复红黑树性质的工作:

前面我们将"删除红黑树中的节点"大致分为两步，在第一步中"将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点删除"后，可能违反"特性(2)、(4)、(5)"三个特性。第二步需要解决上面的三个问题，进而保持红黑树的全部特性。为了便于分析，我们假设"x包含一个额外的黑色"(x原本的颜色还存在)，这样就不会违反"特性(5)"。为什么呢？通过删除算法，我们知道：删除节点y之后，x占据了原来节点y的位置。 既然删除y(y是黑色)，意味着减少一个黑色节点；那么，再在该位置上增加一个黑色即可。这样，当我们假设"x包含一个额外的黑色"，就正好弥补了"删除y所丢失的黑色节点"，也就不会违反"特性(5)"。 因此，假设"x包含一个额外的黑色"(x原本的颜色还存在)，这样就不会违反"特性(5)"。现在，x不仅包含它原本的颜色属性，x还包含一个额外的黑色。即x的颜色属性是"红+黑"或"黑+黑"，它违反了"特性(1)"。现在，我们面临的问题，由解决"违反了特性(2)、(4)、(5)三个特性"转换成了"解决违反特性(1)、(2)、(4)三个特性"。RB-DELETE-FIXUP需要做的就是通过算法恢复红黑树的特性(1)、(2)、(4)。删除后修正的思想是：将x所包含的额外的黑色不断沿树上移(向根方向移动)，直到出现下面的姿态：a) x指向一个"红+黑"节点。此时，将x设为一个"黑"节点即可。b) x指向根。此时，将x设为一个"黑"节点即可。c) 非前面两种姿态。

情况1：当前节点是红色：

解法，直接把当前节点染成黑色，结束。此时红黑树性质全部恢复。

情况2： 当前节点是黑色但也是根节点

void delete_case2(node*n){
if(n->color==BLACK&&n->parent==NULL)
return;
delete_case3(n);
}

解法：删除成功，结束

情况3： 当前节点x是黑色且兄弟节点w是红色（则(此时父节点和兄弟节点的子节点分为黑)）

解法：把父节点染成红色，把兄弟结点染成黑色，之后重新进入算法（我们只讨论当前节点是其父节点左孩子时的情况）。然后，针对父节点做一次左旋。此变换后把问题转化为兄弟节点为黑色的情况。

下面谈谈为什么要这样处理。(建议理解的时候，通过下面的图进行对比)

这样做的目的是将“Case 3”转换为“Case 4”、“Case 5”或“Case 6”，从而进行进一步的处理。对x的父节点进行左旋；左旋后，为了保持红黑树特性，就需要在左旋前“将x的兄弟节点设为黑色”，同时“将x的父节点设为红色”；左旋后，由于x的兄弟节点发生了变化，需要更新x的兄弟节点，从而进行后续处理。

void delete_case3(node *n){
if(w->color==RED)
   {
w->color=BLACK;
n->parent->color=RED;
rotate_left(n->parent);//左旋
 }
else 
   delete_case4(n);
}

情况4：当前节点是黑色，
解法：把当前节点和兄弟节点中抽取一重黑色追加到父节点上，把父节点当成新的当前节点，重新进入算法。

void delete_case4(node *n){
if(w->left->color==BLACK&&w->right->color==BLACK){
  w->color=RED;
n=n->parent;//父节点作为新节点
}
else delete_case1(n);//重新进入算法
}

情况5：当前节点颜色是黑色，兄弟节点是黑色，兄弟的左子是红色，右子是黑色。
 解法：把兄弟结点染红，兄弟左子节点染黑，之后再在兄弟节点为支点解右旋，之后重新进入算法。此是把当前的情况转化为情况6，而性质得以保持。

下面谈谈为什么要这样处理。(建议理解的时候，通过下面的图进行对比)

我们处理“Case 3”的目的是为了将“Case 5”进行转换，转换成“Case 6”,从而进行进一步的处理。转换的方式是对x的兄弟节点进行右旋；为了保证右旋后，它仍然是红黑树，就需要在右旋前“将x的兄弟节点的左孩子设为黑色”，同时“将x的兄弟节点设为红色”；右旋后，由于x的兄弟节点发生了变化，需要更新x的兄弟节点，从而进行后续处理。

void delete_case5(node*n){
if(w->left->color==RED&&w->right->color==BLACK){
w->left->color=BLACK;
w->color=RED;
rotate_right(w);
w=n->parent->right; }
else 
  delete_case6(n);
}

情况6：当前节点颜色是黑色，它的兄弟节点是黑色，但是兄弟节点的右子是红色，兄弟节点左子的颜色任意。

解法：把兄弟节点染成当前节点父节点的颜色，把当前节点父节点染成黑色，兄弟节点右子染成黑色，之后以当前节点的父节点为支点进行左旋，此时算法结束，红黑树所有性质调整正确。

下面谈谈为什么要这样处理。(建议理解的时候，通过下面的图进行对比)

我们处理“Case 6”的目的是：去掉x中额外的黑色，将x变成单独的黑色。处理的方式是“：进行颜色修改，然后对x的父节点进行左旋。下面，我们来分析是如何实现的。为了便于说明，我们设置“当前节点”为S(Original Son)，“兄弟节点”为B(Brother)，“兄弟节点的左孩子”为BLS(Brother's Left Son)，“兄弟节点的右孩子”为BRS(Brother's Right Son)，“父节点”为F(Father)。我们要对F进行左旋。但在左旋前，我们需要调换F和B的颜色，并设置BRS为黑色。为什么需要这里处理呢？因为左旋后，F和BLS是父子关系，而我们已知BL是红色，如果F是红色，则违背了“特性(4)”；为了解决这一问题，我们将“F设置为黑色”。 但是，F设置为黑色之后，为了保证满足“特性(5)”，即为了保证左旋之后：第一，“同时经过根节点和S的分支的黑色节点个数不变”。若满足“第一”，只需要S丢弃它多余的颜色即可。因为S的颜色是“黑+黑”，而左旋后“同时经过根节点和S的分支的黑色节点个数”增加了1；现在，只需将S由“黑+黑”变成单独的“黑”节点，即可满足“第一”。第二，“同时经过根节点和BLS的分支的黑色节点数不变”。若满足“第二”，只需要将“F的原始颜色”赋值给B即可。之前，我们已经将“F设置为黑色”(即，将B的颜色"黑色"，赋值给了F)。至此，我们算是调换了F和B的颜色。第三，“同时经过根节点和BRS的分支的黑色节点数不变”。在“第二”已经满足的情况下，若要满足“第三”，只需要将BRS设置为“黑色”即可。经过，上面的处理之后。红黑树的特性全部得到的满足！接着，我们将x设为根节点，就可以跳出while循环(参考伪代码)；即完成了全部处理。至此，我们就完成了Case 6的处理。理解Case 4的核心，是了解如何“去掉当前节点额外的黑色”。

void delete_case6(node *n){
w->color=n->parent->color;
n->parent->color=BLACK;
w->right->color=BLACK;
rotate_left(n->parent);
}

红黑树的插入、删除情况时间复杂度的分析
因为每一个红黑树也是一个特化的二叉查找树，因此红黑树上的只读操作与普通二叉查找树上的只读操作相同。然而，在红黑树上进行插入操作和删除操作会导致不再符合红黑树的性质。恢复红黑树的属性需要少量(O(log n))的颜色变更(实际是非常快速的)和不超过三次树旋转(对于插入操作是两次)。虽然插入和删除很复杂，但操作时间仍可以保持为 O(log n) 次。

四 B-/B+树

由于篇幅有限，再加上B树独有特征，B树相关知识在下一篇介绍。

具体参考：

http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3245399.html#a34