[剑指-Offer] 68. I. 二叉搜索树的最近公共祖先及II. 二叉树的最近公共祖先(二叉树、LCA问题、递归优化、巧妙解法)

1. 题目来源

链接：I. 二叉搜索树的最近公共祖先
链接：II. 二叉树的最近公共祖先
来源：LeetCode——《剑指-Offer》专项

2. 题目说明

3. 题目解析 — I. 二叉搜索树的最近公共祖先

方法一：递归+巧妙解法

这道题可以用递归来求解，由于二叉搜索树的特点是 左<根<右， 所以根节点的值一直都是中间值，大于左子树的所有节点值，小于右子树的所有节点值，那么可以做如下的判断，如果根节点的值大于 p 和 q 之间的较大值，说明 p 和 q 都在左子树中，那么此时我们就进入根节点的左子节点继续递归，如果根节点小于 p 和 q 之间的较小值，说明 p 和 q 都在右子树中，那么此时我们就进入根节点的右子节点继续递归，如果都不是，则说明当前根节点就是最小共同父节点，直接返回即可。

参见代码如下：

// 执行用时 :44 ms, 在所有 C++ 提交中击败了55.33%的用户
// 内存消耗 :24.9 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if (!root) return nullptr;
        if (root->val > max(p->val, q->val)) 
            return lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
        else if (root->val < min(p->val, q->val)) 
            return lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
        else return root;
    }
};

方法二：迭代+巧妙解法

当然，非递归的写法也是可行的，用个 while 循环来代替递归调用即可，然后不停的更新当前的根节点，也能实现同样的效果。

参见代码如下：

// 执行用时 :36 ms, 在所有 C++ 提交中击败了90.13%的用户
// 内存消耗 :25.3 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        while (true) {
            if (root->val > max(p->val, q->val)) root = root->left;
            else if (root->val < min(p->val, q->val)) root = root->right;
            else break;
        }      
        return root;
    }
};

4. 题目解析 — II. 二叉树的最近公共祖先

方法一：递归+巧妙解法

典型的 LCA 问题。

和上个问题必将，只能在二叉树中来搜索 p 和 q，然后从路径中找到最后一个相同的节点即为父节点，可以用递归来实现，在递归函数中，首先看当前结点是否为空，若为空则直接返回空，若为 p 或 q 中的任意一个，也直接返回当前结点。否则的话就对其左右子结点分别调用递归函数，由于这道题限制了 p 和 q 一定都在二叉树中存在，那么如果当前结点不等于 p 或 q，p 和 q 要么分别位于左右子树中，要么同时位于左子树，或者同时位于右子树，那么分别来讨论：

• 若 p 和 q 分别位于左右子树中，那么对左右子结点调用递归函数，会分别返回 p 和 q 结点的位置，而当前结点正好就是 p 和 q 的最小共同父结点，直接返回当前结点即可，这就是题目中的例子 1 的情况

• 若 p 和 q 同时位于左子树，这里有两种情况，一种情况是 left 会返回 p 和 q 中较高的那个位置，而 right 会返回空，所以最终返回非空的 left 即可，这就是题目中的例子 2 的情况。还有一种情况是会返回 p 和 q 的最小父结点，就是说当前结点的左子树中的某个结点才是 p 和 q 的最小父结点，会被返回

• 若 p 和 q 同时位于右子树，同样这里有两种情况，一种情况是 right 会返回 p 和 q 中较高的那个位置，而 left 会返回空，所以最终返回非空的 right 即可，还有一种情况是会返回 p 和 q 的最小父结点，就是说当前结点的右子树中的某个结点才是 p 和 q 的最小父结点，会被返回

参见代码如下:

// 执行用时 :12 ms, 在所有 C++ 提交中击败了99.60%的用户
// 内存消耗 :16.2 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
       if (!root || p == root || q == root) return root;
       TreeNode *left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
       TreeNode *right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
       if (left && right) return root;
       return left ? left : right;
    }
};

方法二：递归优化+巧妙解法

方法一代码可以进行优化一下，如果当前结点不为空，且既不是 p 也不是 q，那么根据上面的分析，p 和 q 的位置就有三种情况，p 和 q 要么分别位于左右子树中，要么同时位于左子树，或者同时位于右子树。需要优化的情况就是当 p 和 q 同时为于左子树或右子树中，而且返回的结点并不是 p 或 q，那么就是 p 和 q 的最小父结点了，已经求出来了，就不用再对右结点调用递归函数了，这是为啥呢？因为根本不会存在 left 既不是 p 也不是 q，同时还有 p 或者 q 在 right 中。首先递归的第一句就限定了只要遇到了 p 或者 q，就直接返回，之后又限定了只有当 left 和 right 同时存在的时候，才会返回当前结点，当前结点若不是 p 或 q，则一定是最小父节点，否则 left 一定是 p 或者 q。这里的逻辑比较绕，不太好想，画画图、多想想应该可以理清头绪。

参见代码如下：

// 执行用时 :12 ms, 在所有 C++ 提交中击败了93.83%的用户
// 内存消耗 :23.7 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    bool isBalanced(TreeNode* root) {
        int depth = 0;
        return help(root, &depth);
    }

    bool help(TreeNode* root, int* pDepth) {
        if (root == nullptr) {
            *pDepth = 0;
            return true;
        }
        int left;
        int right;
        if (help(root->left, &left) and help(root->right, &right)) {
            int diff = left - right;
            if (diff <= 1 and diff >= -1) {
                *pDepth = 1 + (left > right ? left : right);
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
};