傅里叶变换与希尔伯特变换

1.   傅里叶变换

1.1傅里叶变换

对周期信号进行傅里叶变换（包括正弦周期和非正弦周期信号，正弦周期实际上利用正交性可以知道，除了对应的频率，其他谐波的积分都是0），可以将信号分解为一个无穷级数的和：

其中T为原周期信号的频率，因此，整个傅里叶变换将原信号分解为包括原周期在内的无数个谐波分量的三角集数和。

对于非周期信号，实际上，非周期信号可以被理解为周期为无限短的周期信号，因此，级数和也自然变成了积分：

即傅里叶变换从离散变成了连续的普函数。

1.2傅里叶变换的几个概念

对于傅里叶变换，有几点是非常有意思的，首先，它是由时域信号来的，那么信号进行傅里叶变换之后“时间”去哪儿了呢？其次，仔细观察傅里叶变换，它实际上出现了负频率，那么如何理解负频率呢？

（1）  时间

首先，我们要认识到傅里叶级数可以看做是一种对信号的拟合，其频谱上的每一个点都可以看作是一个频率固定，而时间从负无穷到正无穷的时域信号，而被分析的信号是这无穷个信号的和。

（2）  负频率

关于负频率，目前的理解有两个，第一个是没有实际意义，可以看到，对信号进行傅里叶变换之后信号从实数域被转换到了复数域，而之所以会出现负频率，正是为了消除信号的虚部，实际上，傅里叶级数展开后，负频率对实部与对应正频率相同，而虚部相反从而消除虚部，从这个意义上来说，负频率没有实际的物理意义而纯粹是数学处理，另一个看法是负频率也可以存在，他可以理解为信号在复平面上的正转与反转，而负频率对应的正式反转，我个人更支持第一种观点，所以就不再对第二种观点展开介绍。

2.希尔伯特变换

2.1瞬时频率

瞬时频率的定义目前并不是非常明确的，目前比较公认的是Gaber所提出的解析信号法确定瞬时频率。（建立在希尔伯特变换之上），对于信号a(t)，构造其复数域的解析信号，其中H(f(t))表示对信号f(t)进行希尔伯特变换，如下式所示。

将其写成指数形式即：

信号的瞬时频率被定义为，即相角对时间的倒数，这也符合至关意义上频率的概念：

2.2希尔伯特变换

之所以会利用希尔伯特变换来构造解析信号，是因为希尔伯特变换的诸多优良特性，在此先介绍希尔伯特变换。

对于实值函数f(t),t∈(−∞,∞)，它的希尔伯特变换定义为f(t)与1/πt的卷积。即：

现在来看一下经过希尔伯特变换得到的信号虚部的性质。利用卷积的特殊性质，即两个函数的卷积傅里叶变换等于两个函数傅里叶变换的乘积，设f(t)为原信号，F(f(t))表示对信号进行傅里叶变换，H[f(t)]为对信号进行希尔伯特变换，那么：

对于此积分式，对前半部分进行化简：

这里积分的积分过程如下所示：

                                  

令α=0即可得到上述积分为π/2。

其中sgn(f)为符号函数：

可以看出来，所谓希尔伯特变换就是一个相移转换器，这个转换器器将我们的原始信号的正频率部分乘以-j，也就是说，保持幅度不变的条件下，将相位移动了-pi/2，而对于负频率成分，移动了pi/2。如图所示(对信号进行4次希尔伯特变换)：

进而，对于一个时域信号，我们可以有了新的理解，即时域信号是复数域上信号在实数域的投影，而通过希尔伯特变换，我们能够还原整个复数域上的信号。整个过程通过对时域信号进行希尔伯特变换即可实现：

而对复频域信号Z(t)进行傅里叶变换可以得到，

当频率为正时，其解析信号的频谱即为原信号频谱值的两倍，当频率为负时，解析信号的频谱为0。这说明解析信号z(t)的一个特殊性质，即单边频谱型。因此，对时域信号的解析信号进行频谱分析，其频率与原频率一致，而对应的幅值则是元频率的两倍。