机器学习算法的调试 —— 梯度检验（Gradient Checking）

反向传播算法很难调试得到正确结果，尤其是当实现程序存在很多难于发现的bug 时。举例来说，索引的缺位错误（off-by-one error）会导致只有部分层的权重得到训练（for(i=1; i<=m; ++i) 被漏写为 for(i=1; i），再比如忘记计算偏置项。这些错误会使你得到一个看似十分合理的结果（但实际上比正确代码的结果要差）。因此，仅从计算结果上来看，我们很难发现代码中有什么东西遗漏了。本节中，我们将介绍一种对求导结果进行数值检验的方法，该方法可以验证求导代码是否正确。另外，使用本节所述求导检验方法，可以帮助你提升写正确代码的信心。

数学原理

考虑我们想要最小化以 θ 为自变量的目标函数 J(θ)（θ 可以为标量和可以为矢量，在 Numpy 的编程环境下，处理是一样的），迭代梯度更新公式为：

θ:=θ−αddθJ(θ)

我们不妨以 Sigmoid 函数为例，也即  f(z)=11+exp(−z) ，其导数形式为  f′(z)=g(z)=f(z)(1−f(z)) ，我们可轻易地编程实践，接着我们便可使用  θ:=θ−αddθJ(θ) 来实现梯度下降算法，那么我们如何知道  g(z) 梯度的正确性呢。

回忆导数的数学定义：

ddθJ=limϵ→0J(θ+ϵ)−J(θ−ϵ)2ϵ

由此我们可得梯度校验的数值校验公式： 

g(θ)≈J(θ+ϵ)−J(θ−ϵ)2ϵ

这便是梯度检验的原理。在实际应用中，我们常将 ϵ 设为一个很小的常量，比如 10−4 数量级，我们不会将它设得太小，比如 10−20，因为那将导致数值舍入误差。 事实上，上式两端值的接近程度取决于 J 的具体形式，但在假定 ϵ=10−4 的情况 下，通常会发现左右两端至少有四位有效数字是一致的（或者说精度至少在0.0001一级）。

编程实现

import numpy as np

def sigmoid(z):
    return 1./(1+np.exp(-z))
def sigmoid_prime(z):
    return sigmoid(z)*(1-sigmoid(z))
def check_gradient(f, x0, epsilon):
    return (f(x0+epsilon) - f(x0-epsilon))/2/epsilon

if __name__ == '__main__':
    x0 = np.array([1, 2, 3])
    epsilon = 1e-4
    print(sigmoid_prime(x0))
            # [ 0.19661193  0.10499359  0.04517666]
    print(check_gradient(sigmoid, x0, epsilon))
            # [ 0.19661193  0.10499359  0.04517666]