支持向量机（SVM）原理解析

1. 基础概念

    SVM（Support Vector Machine）支持向量机，是一类出色的监督学习算法，常用于分类和回归问题。SVM的一个重要特征是，其通过最大化几何间隔的方式，降低了经验分类误差，因此SVM又被称为最大间隔分类器。其次，SVM是一类线性分类器，通过构造分隔超平面，将数据分为两个类别。对于线性不可分的数据，SVM通过将原始数据映射到更高的维度，从而使其线性可分。

    我们将数据表示为如下形式：

    其中，表示数据的两个类别。n表示数据的数量。

    如上图所示，分隔超平面将两个类别的数据分隔开来。并且在超平面的两侧，各构造一个与分隔超平面平行的平面：

则数据点位于平面两侧，且该平面距离分隔超平面距离最远。其中位于平面上的点称为支持向量（Support Vector）。SVM通过最大化平面之间的几何距离来得到最优分隔超平面。平面与之间的几何距离为：，则SVM算法可以定义为以下的约束最优化问题：

即：

       通过引入拉格朗日乘法因子，将以上最优化问题转化为如下原始形式：

       根据原始问题的对偶性得：

       分别对w，b求偏导得：

       将以上结果代入进行运算，

我们可以得到如下所示的dual形式：

2. 常用核函数

       我们将以下函数称之为核函数：

       函数通过将映射到更高的维度，从而使其线性可分。然后，SVM在此更高的维度上，寻找具有最大间隔的分隔超平面。

       在SVM应用中，如何选择合适的核函数仍然是一个研究议题，下面列出常用的核函数。

1. 线性核函数（Linear Kernel）

2. 多项式核函数（Polynomial Kernel）

3. RBF kernel

4. Sigmoid kernel

       其中，，d是核函数的参数。在以上核函数中，RBF是最常用的核函数，主要由于以下原因：

1. RBF相比于线性核函数，将输入映射到一个更高纬度的空间。
2. RBF相比于其他核函数参数更少，且计算简单。

3. 实践理论

       在构建SVM应用时，我们可以参照以下实践步骤快速地构建模型。

1. 预处理数据

              在SVM模型中，实例x被表示为一组实数向量，表示实 例的第i个属性，m表示实例的属性个数。因此，如果实例有m个属性，我

       们需要将实例的每个属性表示为一个实数数值，从而将实例表示为m维的实       数数组。

              在训练SVM模型前，对数据进行合理的缩放（scaling）是非常必要的。 对数据的缩放主要有以下两个优点：

1. 避免数值较大的属性在算法中起主要的作用，数值较小属性的影响作用被忽略。
2. 节约计算成本，避免算法在运行中出现数值越界。

              在缩放阶段，我们推荐线性的将每个属性的值缩放到或区间内。

2. 模型选择

              虽然有很多的核函数可供选择，但基于以上原因，我们推荐首先采用RBF     核函数。RBF核函数有一个参数，我们通过K-folder cross validation和Grid Search方法寻找最优的参数。

              在K-folder cross validation方法中，我们将训练数据均匀的分为K个子 集，然后分别使用每一个子集作为测试集，并将其余的k-1个子集作为训练   集训练模型，最后在测试集上得到算法的精确率，并将得到的k个精确率取 均值作为该参数下算法的精确率。

              在Grid Search方法中，我们尝试一系列参数的值，并使用K-folder cross validation方法验证该值对应的精确率，最后选择最优的参数。但是要一一   验证所有的参数非常耗时，所以在实践应用中，我们通常在的合理区间      内随机取一些值进行训练，并在这些值中挑选最优的参数。后续在该参数附       近执行相对全量的搜索，最终得到一个合理的参数。

4. 软线性分隔

       在实际应用中，不是所有的数据都是线性可分的，对于非线性可分的问题，我们通过以下调整使得SVM能够有效支持：

       在以上公式中，我们通过参数降低了约束限制，允许部分数据在分隔平面内侧。参数C是另外一个超参数，作为模型误分类的惩罚系数。