离散傅里叶变换（DFT）（一）

离散傅里叶变换（DFT）

傅里叶变换的优点就是能够将信号从时序空间转换到频域，从频率的角度去分析信号，能够容易发现一些时域内不容易发现的频率。这句话在N多博客里都有类似的描述。那么为什么呢？怎么转换到的频域？

1. 欧拉公式

欧拉公式被誉为“宇宙第一公式”，在傅里叶级数、泰勒级数、三角函数等都存在它的身影，欧拉公式的具体形式如公式 （1.1） 所示。当x为π的时候，欧拉公式将产生欧拉恒等式公式（1.2），这个恒等式将这e，j，π，1，0这几个常量联系在一起。

2. 周期性离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transforma, DFT)

 傅里叶变换有连续时间非周期傅里叶变换，连续时间周期性傅里叶变换，离散时间非周期傅里叶变换和离散时间周期性傅里叶变换，鉴于计算机主要处理离散周期性信号，本文主要介绍周期性离散时间傅里叶变换（DFT）。DFT的公式如公式（2.1）所示。

    其中N表示傅里叶变换的点数，k表示傅里叶变换的第k个频谱，那么傅里叶变换怎么通过公式（2.1）将信号从时域空间转换到频域空间的呢？这时候我们将公式（2.1）通过公式（1.1）进行展开便得到如下的公式（2.2）。

由此可知，傅里叶变换后的第k个点对应的是一个复数。由于余弦信号也一种相位发生π/2移动的正弦信号，因此，这也意味着DFT将时序信号转换成了正弦信号的叠加。由于频率相同的正弦信号的叠加仍然是相同频率的正弦信号，由此可知，变换后的第k点的实部和虚部对应的是一个相同频率的正弦信号，只是相位不同。随着k的变换余弦信号的频率也在发生变换，这也就解释了为什么DFT能够将时序信号转化成不同频率的正弦信号的叠加。